「立方体を3つの点を通る平面で切ると、切り口がどんな形になるのか想像できない」「切り口の線を、どこに引けばいいのか分からない」
立体の切断は、中学受験の算数の立体図形で、上位校を中心によく出題される単元です。切り口の形を答える問題、切り口を図にかきこむ問題、切り分けた立体の体積を求める問題などが出ます。
頭の中だけで考えようとすると難しく感じますが、切り口をかくためのルールは、実は2つしかありません。この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、切り口のかき方のルール、立方体の切り口の形、体積の求め方を整理し、家での教え方をまとめました。
切り口をかく2つのルール
立方体などの立体を平面で切るとき、切り口は次の2つのルールでかきます。
- ルール1：同じ面の上にある2点は、直線で結ぶ
- ルール2：向かい合う（平行な）面にできる切り口の線は、平行になる
切り口は「同じ面の2点を結ぶ」「平行な面には平行な線」。この2つのルールだけでかけます。
切り口の線は、必ず立体の「面の上」を通ります。立体の内部を通る線を引いてしまうのが、よくあるまちがいです。
3つの点を通る切り口の例
例題1：1辺6cmの立方体ABCD-EFGH（上の面がABCD、下の面がEFGHで、AとE、BとF、CとG、DとHが上下に並ぶ）を、A・C・Fを通る平面で切ります。切り口はどんな形ですか。
A・C・Fの3点は、どの2点も同じ面の上にあります。AとCは上の面、CとFは右の面、FとAは前の面です。ルール1で3本の線を結ぶと、切り口は三角形ACFになります。
AC・CF・FAは、どれも立方体の面の対角線なので、長さはすべて等しくなります。切り口は正三角形です。
同じ面に2点がないとき
3つの点のうち、同じ面の上にない2点があるときは、ルール2を使います。まず結べる2点を結び、その線と平行な線を、向かい合う面に引いていきます。それでも足りないときは、辺をのばして交わる点をつくる方法を使います。
立方体の切り口になる形・ならない形
立方体を1つの平面で切ったときの切り口は、次のような形になります。
| 切り口の形 | できるか | 例 |
|---|---|---|
| 三角形 | できる | 正三角形、二等辺三角形 |
| 四角形 | できる | 正方形、長方形、ひし形、台形、平行四辺形 |
| 五角形 | できる | 正五角形はできない |
| 六角形 | できる | 6つの辺のまん中を通ると正六角形 |
| 七角形以上 | できない | 立方体の面は6つしかないため |
立方体の切り口は、三角形から六角形まで。七角形以上や、正五角形、直角三角形はできません。
切り口の辺の数は、切り口が通る面の数と同じです。立方体の面は6つなので、六角形が最大になります。
例題2：1辺の長さが同じ立方体で、切り口が正六角形になるのは、どのような平面で切ったときですか。
立方体の中心を通り、6つの面にまたがるように、6本の辺のまん中の点を通る平面で切ったときです。
切り分けた立体の体積
切断の問題では、切り分けた立体の体積を求める問題もよく出ます。
三角すいを切り取るとき
例題3：例題1で、立方体から切り取られた三角すいB-ACFの体積と、残りの立体の体積を求めましょう。
三角すいB-ACFは、底面を三角形ABC（直角をはさむ2辺が6cm）、高さをBF（6cm）と考えます。底面積は6×6÷2＝18cm²、体積は18×6÷3＝36cm³です。
立方体の体積は6×6×6＝216cm³なので、残りは216－36＝180cm³です。
頂点のまわりの3点で切り取った三角すいは、立方体の6分の1の体積になります。
対角線を通って2つに分けるとき
例題4：1辺6cmの立方体を、A・C・G・Eを通る平面で切ります。切り口の形と、切り分けた立体1つの体積を求めましょう。
AとC、GとEは上下の面の対角線、AとE、CとGはたての辺なので、切り口は長方形ACGEです。立方体はちょうど半分に分かれ、三角柱が2つできます。216÷2＝108cm³です。
よくあるまちがいと対策
- 立体の内部を通る線を引く：切り口の線は必ず面の上
- 同じ面にない2点を、そのまま結ぶ：ルール2で平行線を引く
- 三角すいの体積で、3でわり忘れる：すい体は「底面積×高さ÷3」
- 切り口が正三角形になる理由が書けない：3辺が、どれも面の対角線で等しいから
家庭での教え方のコツ
豆腐や粘土で実際に切る
豆腐や粘土で立方体を作り、包丁や糸で実際に切ってみましょう。切り口が三角形になったり、六角形になったりするようすを目で見ると、頭の中で想像する力がつきます。食べられる材料を使えば、楽しみながら学べます。
見取図に色をぬる
問題の見取図に、切り口の線を色ペンで引き、切り口の面をぬってみてください。1本ずつ「この線はどの面の上？」と確かめながら引くと、ルールが身につきます。
透明な容器と水で考える
透明な四角い容器に色水を入れ、かたむけると、水面の形が切り口と同じように変わります。立方体の容器で試すと、水面が三角形や六角形になることも確かめられます。
立体の切断のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、6年生ごろに学ぶことが多い単元です。立方体・直方体の見取図や展開図、体積の求め方が分かっていることが前提になります。
直方体や三角柱の切断も出ますか？
はい、出ます。ただ、使うルールは立方体と同じです。まずは立方体で、ルールに慣れることから始めましょう。
苦手な子は、どこから始めればいいですか？
展開図や見取図をかく練習から始めるのがおすすめです。展開図の見方と立体の体積と表面積を先に確認しておきましょう。
立体の切断の家での進め方
- 切り口をかく2つのルール
- 3つの点を通る切り口（例題1）
- 切り口になる形・ならない形（例題2）
- 切り取った三角すいの体積（例題3）
- 2つに分けた立体の体積（例題4）
練習問題にチャレンジ
問題1：立方体を1つの平面で切ったとき、切り口の辺の数は最大でいくつですか。
問題2：立方体の切り口として、できないものを次から選びましょう。（正三角形、正方形、正五角形、正六角形）
問題3：1辺3cmの立方体から、1つの頂点のまわりの3点を通る平面で切り取った三角すいの体積を求めましょう。
問題4：1辺4cmの立方体を、上下の面の対角線と2本のたての辺を通る平面で2つに切りました。切り分けた立体1つの体積を求めましょう。
答え
問題1：6です（六角形）。
問題2：正五角形です。
問題3：3×3÷2×3÷3＝4.5cm³です。
問題4：4×4×4÷2＝32cm³です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：切断は「2つのルール」と「体積の計算」
立体の切断は、「同じ面の2点を結ぶ」「平行な面には平行な線」という2つのルールで切り口をかきます。立方体の切り口は三角形から六角形までで、体積は三角すいや三角柱に分けて考えましょう。実際に切ってみる体験が、想像する力を育てます。
図形のほかの単元は、展開図、立体の体積と表面積、相似で解説しています。算数全体の立て直しは中学受験の算数が苦手な原因と立て直し方も参考にしてください。
