「3でわると2あまり、5でわると3あまる数、という問題で、どこから手をつければいいか分からない」「1つずつ書き出していると時間がかかりすぎる」
あまりの問題は、中学受験の算数の「数の性質」の分野で、よく出題される単元です。わり算のあまりに注目して、条件に合う数を探す問題が中心です。曜日を求める問題や、規則性の問題でも、あまりの考え方が使われます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、あまりの問題の3つのパターンと、倍数の見分け方、曜日の問題の解き方を整理し、家での教え方をまとめました。
あまりの問題の基本
わり算では、次の関係が成り立ちます。
わられる数＝わる数×商＋あまり
例えば、17÷5＝3あまり2 は、17＝5×3＋2 ということです。あまりは、必ずわる数より小さくなります。
「5でわると2あまる数」は、「5の倍数＋2」の数です。
パターン1：あまりが同じ
例題1：3でわっても5でわっても2あまる2けたの整数のうち、最も大きい数を求めましょう。
3でわっても5でわっても2あまる数は、「3と5の公倍数＋2」です。3と5の最小公倍数は15なので、15の倍数＋2の数（2、17、32、47、62、77、92…）になります。2けたで最も大きいのは92です。
あまりが同じときは「最小公倍数の倍数＋あまり」。
パターン2：不足が同じ
例題2：4でわると3あまり、5でわると4あまる3けたの整数のうち、最も小さい数を求めましょう。
あまりはちがいますが、「4でわると3あまる」は「あと1あれば4でわり切れる」、「5でわると4あまる」は「あと1あれば5でわり切れる」と言いかえられます。どちらも1たりないので、「4と5の公倍数－1」です。
4と5の最小公倍数は20なので、20の倍数－1の数（19、39、59、79、99、119…）になります。3けたで最も小さいのは119です。
「わる数－あまり」が同じなら、「最小公倍数の倍数－不足」。
パターン3：あまりも不足もばらばら
例題3：3でわると2あまり、5でわると3あまる整数のうち、最も小さい数を求めましょう。
あまりも、不足（3－2＝1、5－3＝2）もそろっていません。このときは、わる数の大きいほうから書き出します。
- 5でわると3あまる数：3、8、13、18、23…
- この中で3でわると2あまる数を探すと、8が見つかる
最も小さい数は8です。条件に合う数は、8から3と5の最小公倍数の15ずつ増えていくので、8、23、38、53…となります。
ばらばらのときは、わる数の大きいほうから書き出して、最初の1つを見つけます。あとは最小公倍数ずつ増えます。
倍数の見分け方
大きな数が、ある数でわり切れるかどうかは、次のルールですばやく見分けられます。
| 倍数 | 見分け方 |
|---|---|
| 2の倍数 | 一の位が偶数（0、2、4、6、8） |
| 3の倍数 | 各位の数の和が3の倍数 |
| 4の倍数 | 下2けたが4の倍数（または00） |
| 5の倍数 | 一の位が0か5 |
| 8の倍数 | 下3けたが8の倍数（または000） |
| 9の倍数 | 各位の数の和が9の倍数 |
例えば、2754は、各位の和が2＋7＋5＋4＝18なので、3の倍数であり、9の倍数でもあります。
曜日を求める問題
曜日は7日ごとにくり返すので、7でわったあまりで考えます。
例題4：ある年の5月1日が月曜日のとき、同じ年の8月1日は何曜日ですか。
5月1日から8月1日までは、5月の31日、6月の30日、7月の31日を合わせた92日後です。92÷7＝13あまり1なので、月曜日の1日あとで、火曜日です。
何日後かを数えるときに、「その日をふくめるかどうか」でまちがえやすいので、短い例（1日後、7日後）で確かめてから計算しましょう。
応用：ある範囲にいくつあるか
あまりの問題では、「1から100までに、条件に合う数はいくつあるか」という形もよく出ます。
例題5：1から100までの整数のうち、3でわっても5でわっても2あまる数は何個ありますか。
条件に合う数は、15の倍数＋2なので、2、17、32、47、62、77、92です。100をこえる次の数は107なので、7個です。
式で求めるときは、（100－2）÷15＝6あまり8 なので、15の倍数の部分が0倍から6倍までの7通りで、7個と考えられます。
個数を求めるときは「0倍」もふくめて数えるのを忘れないようにします。
よくあるまちがいと対策
- あまりがちがうのに、すぐに書き出しを始める：まず「不足」がそろっていないか確かめる
- 最小公倍数ではなく、ただのかけ算で考える：4と6なら24ではなく12
- 曜日の問題で、日数を1日ずらして数える：短い例で数え方を確かめる
- 「最も小さい数」で、0や1けたの数を答えてしまう：問題の「2けた」「3けた」などの条件に線を引く
家庭での教え方のコツ
おはじきで分けてみる
おはじきを17個用意して、5個ずつ分けると2個あまることを確かめてみましょう。「あまり」と「不足」が目に見える形で分かります。
カレンダーで曜日を確かめる
カレンダーを見ながら、「今日から30日後は何曜日？」を計算で求め、カレンダーで答え合わせをしてみてください。7でわったあまりで曜日が決まることが実感できます。
3つのパターンをノートにまとめる
「あまりが同じ」「不足が同じ」「ばらばら」の3つのパターンを、例題とセットでノートにまとめましょう。問題を見たら、まずどのパターンかを判断する習慣がつきます。
あまりの問題のよくある質問
何年生で学びますか？
小学校の算数では、5年生で倍数と約数を学びます。中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに数の性質として学び、6年生で応用問題に取り組むことが多い単元です。
約数・倍数の単元とどうつながりますか？
あまりの問題は、最小公倍数を使って解くので、約数と倍数の考え方が土台になります。約数と倍数の求め方で、最小公倍数の求め方を確認しておきましょう。
規則性の問題でも使いますか？
はい、「○番目の数は何か」のように、くり返しのある問題では、くり返しの個数でわったあまりで答えを出します。規則性の問題もあわせて練習しましょう。
あまりの問題の家での進め方
- わられる数＝わる数×商＋あまり
- あまりが同じ（例題1）
- 不足が同じ（例題2）
- あまりも不足もばらばら（例題3）
- 倍数の見分け方と曜日の問題（例題4）
練習問題にチャレンジ
問題1：6でわると5あまる2けたの整数のうち、最も小さい数を求めましょう。
問題2：4でわっても6でわっても1あまる2けたの整数のうち、最も小さい数を求めましょう。
問題3：5でわると3あまり、7でわると5あまる整数のうち、最も小さい数を求めましょう。
問題4：123456は、3の倍数ですか。また、9の倍数ですか。
答え
問題1：6＋5＝11です。
問題2：4と6の最小公倍数は12なので、12の倍数＋1です。2けたで最も小さいのは13です。
問題3：どちらも2たりないので、35の倍数－2です。最も小さいのは33です。
問題4：各位の和は21なので、3の倍数ですが、9の倍数ではありません。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：あまりの問題は「3つのパターン」で解く
あまりの問題は、あまりが同じなら「最小公倍数の倍数＋あまり」、不足が同じなら「最小公倍数の倍数－不足」、ばらばらなら大きいほうから書き出して最初の1つを見つけます。問題を見たら、まずどのパターンかを判断しましょう。
