「速さの問題を比で解くと速いと言われても、どの比を使えばいいのか分からない」「速さの比と時間の比が逆になるのが、どうしてか説明できない」
速さと比は、中学受験の算数で、速さの問題をすばやく解くための大切な道具です。旅人算・通過算・流水算など、速さの応用問題の多くは、比を使うと式が短くなります。ただし、どの量が同じなのかを読み取れないと、比を逆に使ってしまいます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、速さと比の3つの関係と、よく出る問題の解き方をまとめました。
速さと比の3つの関係
道のり＝速さ×時間なので、3つの量のうち1つが同じときは、残りの2つの比に決まった関係があります。
| 同じもの | 比の関係 | 例 |
|---|---|---|
| 時間が同じ | 道のりの比＝速さの比 | 速さ2：3なら、道のり2：3 |
| 道のりが同じ | 時間の比＝速さの比の逆 | 速さ2：3なら、時間3：2 |
| 速さが同じ | 道のりの比＝時間の比 | 時間2：3なら、道のり2：3 |
まず「何が同じか」を見つけます。道のりが同じときだけ、速さと時間の比が逆になります。
道のりが同じとき逆になるのは、速いほど短い時間で着くからです。速さが2倍なら、かかる時間は半分になります。
時間が同じ問題
例題1：兄と弟が同時に家を出て、同じ時間歩きました。兄の速さは分速80m、弟は分速60mです。兄が1200m歩いたとき、弟は何m歩きましたか。
同じ時間なので、道のりの比は速さの比と同じです。速さの比は80：60＝4：3なので、道のりの比も4：3です。兄の4が1200mなので、1つ分は300mです。弟は300×3＝900mです。
道のりが同じ問題（時間の差）
例題2：家から駅まで、分速60mで歩くと、分速90mで走るより10分多くかかります。家から駅までの道のりは何mですか。
道のりが同じなので、時間の比は速さの比の逆です。速さの比は60：90＝2：3なので、時間の比は3：2です。
時間の比の差1つ分が10分にあたるので、歩いたときの時間は10×3＝30分です。道のりは60×30＝1800mです。
確かめると、走ったときは1800÷90＝20分で、差は10分です。
時間の差が分かっている問題は、「時間の比の差」が何分にあたるかを考えます。
往復の問題
例題3：ある坂道を、上りは分速40m、下りは分速60mで往復したところ、全部で50分かかりました。坂道の片道は何mですか。
上りと下りは同じ道のりなので、時間の比は速さの比の逆です。速さの比は40：60＝2：3なので、時間の比は3：2です。
往復の時間50分を3：2に分けると、上りは50×5分の3＝30分です。片道は40×30＝1200mです。下りは1200÷60＝20分で、合わせて50分になります。
向かい合って進む問題
例題4：2400mはなれた地点から、AとBが向かい合って同時に出発しました。AとBの速さの比は3：2です。2人が出会うまでに、Aは何m進みましたか。
出会うまでの時間は同じなので、進んだ道のりの比は速さの比と同じ3：2です。2人が進んだ道のりの合計は2400mなので、Aは2400×5分の3＝1440mです。
同時に出発して出会うまでは「時間が同じ」。道のりの比＝速さの比で分けます。
比を使うときの手順
比を使う問題は、次の順で考えると迷いません。
- 問題の中で「同じもの」（時間・道のり・速さ）を見つける
- 分かっている比を書き、必要なら逆にする
- 比の1つ分が何mか、何分かを求める
- 答えを出したら、元の速さの式で確かめる
比の数をそのまま答えにせず、「1つ分」をはさむことが大切です。
時間の比から速さを求める
逆の向きの問題もよく出ます。かかった時間の比から、速さの比を求めます。
例題5：同じ道のりを進むのに、Aは12分、Bは18分かかります。Aの速さが分速90mのとき、Bの速さは分速何mですか。
道のりが同じなので、速さの比は時間の比の逆です。時間の比は12：18＝2：3なので、速さの比は3：2です。Bの速さは、90÷3×2＝分速60mです。
確かめると、道のりは90×12＝1080mで、1080÷18＝60なので合っています。
「時間の比」から「速さの比」を出すときも、道のりが同じなら逆にします。
よくあるまちがいと対策
- 道のりが同じなのに、速さの比をそのまま時間の比にする：道のりが同じなら逆比
- 比の1つ分を求めずに答える：比の数は「いくつ分」で、長さや時間ではない
- 単位をそろえずに比を作る：時速と分速がまざっていたら先にそろえる
- 往復の問題で、片道と往復を混ぜる：何の合計かを図に書く
家庭での教え方のコツ
散歩で「2倍の速さ」を体験する
同じきょりを、ゆっくり歩いたときと速歩きのときで、何秒かかるかを測ってみましょう。速さが上がると時間が減ることが、体で分かります。
表に「同じもの」を書く
問題を読んだら、速さ・時間・道のりの表を作り、同じになるものに丸をつけましょう。比を逆にするかどうかの判断がしやすくなります。
比を使わない解き方とくらべる
慣れないうちは、比を使わない解き方とくらべてみてください。同じ答えになることを確かめると、比の便利さが実感できます。
速さと比のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、比を学んだあとの5〜6年生ごろに、速さの応用として学ぶことが多い単元です。比の基本を先に固めておきましょう。
比を使わなくても解けますか？
多くの問題は比を使わなくても解けます。ただ、数が大きい問題や条件の多い問題では、比を使うと計算がずっと短くなります。
苦手な場合は何から始めればいいですか？
まずは「時間が同じ」問題で、道のりの比＝速さの比になることに慣れましょう。そのあと、道のりが同じで逆比になる問題へ進みます。速さの基本の3つの式も確認しておきましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：AとBが同じ時間歩きました。速さの比は4：3で、Aは800m歩きました。Bは何m歩きましたか。
問題2：同じ道のりを、分速50mと分速75mで進むと、かかる時間の差は6分です。道のりは何mですか。
問題3：行きは分速60m、帰りは分速40mで往復したところ、全部で25分かかりました。片道は何mですか。
問題4：1500mはなれた2人が、向かい合って同時に出発しました。速さの比は2：3です。速いほうは、出会うまでに何m進みましたか。
答え
問題1：800÷4×3＝600mです。
問題2：時間の比は3：2で、差1つ分が6分です。分速50mのときは18分なので、50×18＝900mです。
問題3：時間の比は2：3なので、行きは10分です。60×10＝600mです。
問題4：1500×5分の3＝900mです。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：速さと比は「何が同じか」から
速さと比の問題は、時間・道のり・速さのうち何が同じかを見つけることから始めます。時間が同じなら道のりの比＝速さの比、道のりが同じなら時間の比は速さの比の逆です。比の1つ分を求めてから答えを出し、元の式で確かめましょう。
