「積み木の個数を数えると、見えないところをいつも数え忘れる」「表面積を求める問題で、1面ずつ数えていたら時間が足りなくなった」
積み木の問題は、中学受験の算数の立体図形で、よく出題される単元です。同じ大きさの立方体を積み重ねた立体の個数、表面積、見えない部分の立方体の数などを求めます。空間を想像する力が問われますが、数え方のコツを知っていれば、確実に得点できます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、積み木の問題の基本の数え方と、よく出るパターンの解き方をまとめました。
個数は「上から見た図」に書きこむ
積み木の個数を数えるときは、上から見た図をかき、それぞれのマスに「何個積んであるか」を書きこみます。全部の個数は、書きこんだ数の合計です。
積み木の個数は「上から見た図の各マスに、積んだ個数を書く」。見えない立方体も数え忘れません。
上の図では、3＋2＋1＋2＋1＋1＋1＋1＝12個です。見取図のまま数えると、後ろや下にかくれた立方体を数え忘れやすいので、この方法がおすすめです。
表面積は「6方向から見る」
立方体を積んだ立体の表面積は、前・後ろ・左・右・上・下の6方向から見える正方形の数を数えて求めます。
- 前と後ろから見える数は同じ
- 左と右から見える数は同じ
- 上と下から見える数は同じ（くぼみがないとき）
表面積＝（前から見える数＋横から見える数＋上から見える数）×2×（1つの面の面積）
例題1：1辺1cmの立方体6個を、下の段に3個、2段目に2個、3段目に1個と、階段の形に積みました（左はしをそろえて積み、すき間はありません）。表面積は何cm²ですか。
前から見ると、3＋2＋1＝6個の正方形が見えます。横から見ると3個、上から見ると3個です。表面積は、（6＋3＋3）×2＝24cm²です。
表面積は「3方向から見える数の合計×2」。ただし、へこみやすき間がある立体では、かくれた面を別に数えます。
別の求め方で確かめる
立方体1個の面は6つなので、6個では36面です。立方体どうしがくっついている面は、1か所につき2面ずつかくれます。この立体では、くっついている所が6か所あるので、36－6×2＝24cm²です。2つの方法で答えが合えば安心です。
正面と横から見た図から個数を考える
正面と横から見た図だけが分かっているとき、立方体の個数は1通りに決まらないことがあります。そのときは、最も多い場合と少ない場合を考えます。
例題2：たて2列、横2列のマスの上に立方体を積みました。正面から見ると、左の列が2段、右の列が1段に見えます。横から見ると、手前の列が2段、おくの列が1段に見えます。上から見た図は分かっていません。立方体の個数は、最も多くて何個、最も少なくて何個ですか。
最も多いときは、各マスに「その列の正面の高さ」と「その列の横の高さ」の小さいほうまで積みます。手前の左は2個、手前の右・おくの左・おくの右は1個ずつで、2＋1＋1＋1＝5個です。
最も少ないときは、正面と横の両方の高さを、できるだけ同じ立方体の列で満たします。手前の左に2個、おくの右に1個積めば、正面から見ても横から見ても条件に合うので、2＋1＝3個です。
色をぬった立方体を切る問題
例題3：1辺3cmの立方体の表面全体に色をぬり、1辺1cmの立方体27個に切り分けました。3つの面に色がついた立方体、2つの面、1つの面、色がついていない立方体は、それぞれ何個ありますか。
- 3面：かどにある立方体で、8個
- 2面：辺のまん中にある立方体で、12本の辺に1個ずつで12個
- 1面：面のまん中にある立方体で、6つの面に1個ずつで6個
- 0面：中心にある立方体で、1個
合計は8＋12＋6＋1＝27個で、合っています。
1辺がn個に分けられているとき、次のように求められます。
| 色のついた面の数 | 個数 |
|---|---|
| 3面 | 8個（いつも同じ） |
| 2面 | 12×（n－2）個 |
| 1面 | 6×（n－2）×（n－2）個 |
| 0面 | （n－2）×（n－2）×（n－2）個 |
3面はかど（8個）、2面は辺、1面は面のまん中、0面は内側。「n－2」が何度も出てきます。
よくあるまちがいと対策
- 見取図のまま数えて、かくれた立方体を数え忘れる：上から見た図に個数を書きこむ
- 表面積で、6方向のうち片側しか数えない：3方向の合計を2倍する
- へこみのある立体で、かくれた面を数え忘れる：くっついている面を引く方法でも確かめる
- 色のついた面の数で、1辺の数をそのまま使う：かどをのぞくので「n－2」
家庭での教え方のコツ
本物の積み木で確かめる
積み木やサイコロ、角ざとうを使って、問題と同じ形を実際に作ってみましょう。上から見た図に個数を書きこむ方法が正しいことを、手で確かめられます。
3方向から見た図をかく
作った積み木を、正面・横・上から見た図に、方眼紙にかいてみてください。見る方向によって見える形が変わることが分かり、空間を想像する力がつきます。
色ぬりの問題は小さい立方体から
1辺2個（8個）の立方体から始めて、1辺3個、4個と大きくしながら、色のついた面の数を表にまとめてみましょう。きまりが見つかると、公式を覚えなくても解けるようになります。
積み木の問題のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに学ぶことが多い単元です。立方体・直方体の見取図や体積が分かっていることが前提になります。
体積の単元とどうつながりますか？
1辺1cmの立方体の個数は、そのまま体積（cm³）になります。立体の体積と表面積とあわせて学びましょう。
切断の問題とも関係がありますか？
はい、積み木を平面で切ったときに、切られる立方体の数を数える問題も出ます。立体の切断で切り口の考え方を確認しておきましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：上から見た図の4つのマスに、2、2、1、3と個数が書いてあります。立方体は全部で何個ですか。
問題2：1辺4cmの立方体の表面に色をぬり、1辺1cmの立方体に切り分けました。2つの面に色がついた立方体は何個ありますか。
問題3：問題2で、色がついていない立方体は何個ありますか。
問題4：1辺1cmの立方体3個を、下に2個、その左はしの上に1個積みました。表面積は何cm²ですか。
答え
問題1：2＋2＋1＋3＝8個です。
問題2：12×（4－2）＝24個です。
問題3：2×2×2＝8個です。
問題4：前から3個、横から2個、上から2個見えるので、（3＋2＋2）×2＝14cm²です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：積み木は「上から見た図」と「6方向」
積み木の個数は、上から見た図の各マスに積んだ個数を書きこんで数えます。表面積は、3方向から見える正方形の数の合計を2倍して求めます。色をぬった立方体を切る問題は、かど・辺・面・内側に分けて考えましょう。
