「さいころを転がす問題で、上の目がどう変わるのか頭の中で追えない」「展開図にしたとき、どの面とどの面が向かい合うのか分からない」
さいころの問題は、中学受験の算数で、立体の見方と規則性を組み合わせた問題として出題されます。さいころの決まりを知っていれば、実物がなくても、計算と図で解くことができます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、さいころの決まりと、よく出る問題の解き方をまとめました。
さいころの基本の決まり
ふつうのさいころは、向かい合う面の目の和が7になるように作られています。
| 向かい合う面の組 | 和 |
|---|---|
| 1と6 | 7 |
| 2と5 | 7 |
| 3と4 | 7 |
さいころの6つの面の目の和は、1＋2＋3＋4＋5＋6＝21です。
さいころは「向かい合う面の和が7」。全部の面の和は21です。
例題1：机の上に置いたさいころの上の面が2のとき、机に接している面の目はいくつですか。
上の面と机に接する面は向かい合っているので、7－2＝5です。
見えない面の目の和
例題2：さいころを置いたところ、上・前・右の3つの面が見え、目は1・2・3でした。見えない3つの面の目の和はいくつですか。
全部の面の和は21で、見えている面の和は1＋2＋3＝6なので、見えない3つの面の和は21－6＝15です。
見えない面は、それぞれ見えている面の反対側なので、6・5・4で、和は15と確かめられます。
見えない面の和は「21－見えている面の和」。反対側の面は「7－見えている目」で求められます。
さいころを転がす
さいころを右へ1回転がすと、次のように面が動きます。
- 元の上の面が、右にくる
- 元の左の面が、上にくる
- 元の下の面が、左にくる
- 元の右の面が、下にくる
- 前と後ろの面は、そのまま
例題3：上が1、前が2、右が3のさいころを、右へ1回転がしました。上の面の目はいくつですか。
元の左の面が上にきます。左の面は右の面（3）の反対なので、7－3＝4です。上の面は4です。
転がす向きと反対側の面が、上にきます。右へ転がすなら、元の左の面が上にきます。
向こうへ転がす
さいころを向こう（前から後ろの向き）へ1回転がすと、次のように面が動きます。
- 元の前の面が、上にくる
- 元の上の面が、後ろにくる
- 右と左の面は、そのまま
例題4：上が1、前が2のさいころを、向こうへ1回転がしました。上の面の目はいくつですか。
元の前の面が上にくるので、上の面は2です。
4回転がすと元にもどる
同じ向きに4回転がすと、さいころは1回転して元の向きにもどります。そのため、何回も転がす問題では、回数を4でわったあまりを考えます。
例題5：上が1、前が2、右が3のさいころを、右へ10回転がしました。上の面の目はいくつですか。
10÷4＝2あまり2なので、右へ2回転がしたときと同じです。右へ2回転がすと、上と下が入れかわるので、上の面は元の下の面の6です。
同じ向きに何回も転がすときは、「回数÷4のあまり」の回数だけ転がしたと考えます。
右へ1回転がしてから向こうへ1回転がすなど、向きの変わる問題も、1回ずつ上・前・右の目を表に書いて追えば解けます。
展開図で向かい合う面を見つける
さいころの展開図では、向かい合う面は、となり合いません。
- 一直線に並んだ3つの面のうち、両はしの面は向かい合う
- 1つおいたとなりの面が、向かい合う面になることが多い
例題6：十字形の展開図で、たてに並んだ4つの面の上から2番目が1のとき、1と向かい合う面はどこですか。
たてに並んだ面のうち、1から1つおいた、上から4番目の面が1と向かい合います。この面の目は6です。十字形以外の展開図でも、一直線に並んだ3面の両はしが向かい合うことは同じです。さいころの展開図は、立方体の展開図と同じく11種類あります。
重ねたさいころの見えない面
例題7：2個のさいころをたてに重ねて、机の上に置きました。上のさいころの上の面は2、下のさいころの机に接している面は3です。机に接している面と、2個のさいころが接している2つの面の目の和はいくつですか。
上のさいころの下の面は、上の面2の反対なので5です。下のさいころの上の面は、机に接する面3の反対なので4です。見えない3つの面の和は、3＋4＋5＝12です。
重ねたさいころも、1個ずつ「7－見えている目」で反対の面を求めていけば解けます。
よくあるまちがいと対策
- 向かい合う面の和を6にする：さいころは向かい合う面の和が7
- 転がしたときに、転がす向きの面が上にくると考える：転がす向きと反対側の面が上にくる
- 何回も転がす問題で、1回ずつ全部追う：4回で元にもどるので、あまりを使う
- 展開図で、となり合う面を向かい合う面と考える：向かい合う面はとなり合わない
家庭での教え方のコツ
本物のさいころで確かめる
すごろくなどのさいころを用意して、問題と同じように転がしてみましょう。頭の中で追うのがむずかしいときも、手で確かめると納得できます。
さいころの展開図を作る
厚紙で展開図をかき、目を書きこんでから組み立ててみてください。向かい合う面の位置が、自然に分かるようになります。
「7のペア」を口ぐせにする
「1と6、2と5、3と4」と声に出して覚えましょう。ほとんどの問題が、このペアから解き始められます。
さいころの問題のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに、立体の見方や展開図とあわせて学ぶことが多い単元です。
展開図の単元とどうつながりますか？
立方体の展開図で、向かい合う面を見つける方法は、さいころの問題でもそのまま使います。展開図で確認しておきましょう。
規則性の問題とも関係がありますか？
はい、同じ向きに何回も転がす問題は、4回ごとにくり返す周期の問題です。規則性の問題もあわせて練習しましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：さいころの3の面と向かい合う面の目はいくつですか。
問題2：見えている3つの面の目が4・5・6のとき、見えない3つの面の目の和はいくつですか。
問題3：上が5、右が3のさいころを、右へ1回転がしました。上の面の目はいくつですか。
問題4：さいころを同じ向きに8回転がすと、上の面の目はどうなりますか。
答え
問題1：7－3＝4です。
問題2：21－15＝6です。
問題3：元の左の面が上にきます。左は右の3の反対なので、4です。
問題4：8÷4＝2あまり0なので、元の向きにもどり、上の面は元と同じ目です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：さいころは「7のペア」と「4回で元にもどる」
さいころは、向かい合う面の和が7で、全部の面の和は21です。転がすと、転がす向きと反対側の面が上にきて、同じ向きに4回転がすと元にもどります。展開図では、一直線に並んだ3面の両はしが向かい合います。本物のさいころで確かめながら練習しましょう。
