塾なし中学受験の家庭向け勉強法：いもづる算を教えます！個数の合計が分からない買い物の問題を表で解く方法

「代金の合計しか分からないのに、どうやって個数を決めればいいのか分からない」「答えが1つとは限らない問題で、全部見つけられたか不安になる」

いもづる算は、中学受験の算数で、2種類のものの個数の組み合わせを探す問題です。つるかめ算とちがい、個数の合計が分かっていないので、答えが1つに決まらないこともあります。1つ答えが見つかると、いもづる式に次々と答えが見つかることから、この名前でよばれています。

この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、いもづる算の考え方と、よく出る問題の解き方をまとめました。

いもづる算とつるかめ算のちがい

	つるかめ算	いもづる算
分かっていること	個数の合計と、代金の合計	代金の合計だけ
答え	1つに決まる	いくつかあることがある
解き方	面積図や、全部が一方だったらと考える	表で組み合わせを探す

個数の合計が分かっていなければ、いもづる算。表を使って、条件に合う組み合わせを全部探します。

基本の解き方：表で探す

値段の高いあめの個数を1個ずつふやし、残りの代金がガムの値段30円でわり切れるかを調べます。

あめの個数	あめの代金	残り	ガムの個数
1個	70円	430円	わり切れない
2個	140円	360円	12個
3個	210円	290円	わり切れない
4個	280円	220円	わり切れない
5個	350円	150円	5個
6個	420円	80円	わり切れない
7個	490円	10円	わり切れない

答えは、ガム12個とあめ2個、ガム5個とあめ5個の2通りです。

値段の高いほうの個数を1つずつふやすと、調べる回数が少なくてすみます。

いもづる式に次の答えを見つける

例題1の2つの答えをくらべると、あめが3個ふえ、ガムが7個へっています。

あめ3個分の代金は70×3＝210円、ガム7個分の代金は30×7＝210円で、同じです。210円は、30と70の最小公倍数です。

つまり、1つ答えが見つかったら、代金が同じになる分だけ、一方をふやしてもう一方をへらせば、次の答えが見つかります。これが「いもづる式」です。

1つ答えが見つかったら、最小公倍数の分だけ入れかえると、次の答えが見つかります。

一の位に注目して候補をしぼる

あめの代金60×□は、一の位がいつも0です。代金の合計525円の一の位は5なので、ガムの代金45×□の一の位は5でなければなりません。45に奇数をかけると一の位が5、偶数をかけると0になるので、ガムの個数は奇数です。

ガムを1個・3個・5個…と奇数だけ調べます。

ガムの個数	ガムの代金	残り	あめの個数
1個	45円	480円	8個
3個	135円	390円	わり切れない
5個	225円	300円	5個
7個	315円	210円	わり切れない
9個	405円	120円	2個
11個	495円	30円	わり切れない

答えは、ガム1個とあめ8個、ガム5個とあめ5個、ガム9個とあめ2個の3通りです。ガムが4個ふえると、あめが3個へっています（どちらも180円分）。

一の位に注目すると、調べる候補を半分にしぼれることがあります。

数を小さくしてから考える

値段がどちらも同じ数でわり切れるときは、式全体をその数でわると、計算が楽になります。例題2なら、45と60と525はどれも15でわり切れるので、「3×ガム＋4×あめ＝35」として考えることもできます。

全体を同じ数でわって、数を小さくしてから考えると、計算が楽になります。

条件がつく問題

60と90を30でわると、2×えんぴつ＋3×ボールペン＝20です。ボールペンを1本ずつふやして調べると、ボールペン2本・えんぴつ7本、ボールペン4本・えんぴつ4本、ボールペン6本・えんぴつ1本の3通りが見つかります。

このうち、えんぴつのほうが多いのは、えんぴつ7本・ボールペン2本です。

よくあるまちがいと対策

• 答えを1つ見つけて終わりにする：表を最後まで作って、全部見つける
• 「どちらも1個以上」の条件を見落とす：0個の組み合わせは答えに入れない
• 値段の安いほうから調べて時間がかかる：値段の高いほうの個数を動かす
• 確かめをしない：見つけた組み合わせで、代金の合計を計算し直す

家庭での教え方のコツ

おもちゃのお金で買い物ごっこ

10円玉や50円玉を使って、「ちょうど○円にするには、どの組み合わせがある？」と親子で探してみましょう。表で整理する意味が実感できます。

表を書く練習を重ねる

いもづる算は、表を書けば必ず答えが見つかります。最初は時間がかかってもよいので、ていねいに表を書く習慣をつけましょう。

入れかえの規則を見つける

答えが2つ以上見つかったら、「何個ふえて、何個へった？」と聞いてみてください。最小公倍数との関係に、子ども自身が気づけると理解が深まります。

いもづる算のよくある質問

何年生で学びますか？

中学受験向けの教材では、つるかめ算を学んだあとの5年生ごろに学ぶことが多い単元です。

つるかめ算と見分けるコツはありますか？

「全部で何個」という個数の合計が問題文にあればつるかめ算、なければいもづる算です。つるかめ算とくらべて練習しましょう。

最小公倍数が分かりません。

いもづる式に答えを見つけるときは、2つの値段の最小公倍数を使います。約数と倍数で求め方を確認しておきましょう。

練習問題にチャレンジ

答え

問題1：40円が9個と70円が2個、40円が2個と70円が6個の2通りです。

問題2：3円切手8枚と5円切手2枚、3円切手3枚と5円切手5枚の2通りです。

問題3：40円のおかしが7個へり、70円のおかしが4個ふえています（どちらも280円分）。

問題4：つるかめ算です。

練習プリント（無料）

この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。

まとめ：いもづる算は「表」と「入れかえ」

いもづる算は、代金の合計だけが分かっているときに、値段の高いほうの個数を1つずつふやして、表で組み合わせを探します。1つ答えが見つかったら、最小公倍数の分だけ入れかえると次の答えが見つかります。条件をよく読み、すべての組み合わせを見つけましょう。

関連する単元は、つるかめ算、約数と倍数、差集め算で解説しています。