「1本の値段がちがう2通りの買い方の問題で、何から考えればいいか分からない」「過不足算と差集め算のちがいがよく分からない」
差集め算は、中学受験の算数の文章題で、よく出題される特殊算の1つです。「1つあたりの小さな差」が、個数の分だけ集まって「全体の大きな差」になる、という考え方で解きます。値段の問題、配る問題、速さの問題など、いろいろな場面で使えます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、差集め算の基本の考え方と、よく出るパターンの解き方をまとめました。
差集め算の基本の考え方
差集め算は、次の式で考えます。
1つあたりの差×個数＝全体の差
ですから、個数は「全体の差÷1つあたりの差」で求められます。
差集め算は「全体の差÷1つあたりの差＝個数」。2つの差を見つけるのが勝負です。
例題1：1本60円のえんぴつを買う予定でしたが、1本80円のえんぴつを同じ本数買ったので、代金が予定より300円多くなりました。えんぴつは何本買いましたか。
1本あたりの差は、80－60＝20円です。全体の差は300円です。本数は、300÷20＝15本です。
配る数を変える問題
例題2：子どもたちに、1人4枚ずつ色紙を配る予定でしたが、1人6枚ずつ配ることにしたので、必要な色紙が全部で30枚ふえました。子どもは何人いますか。
1人あたりの差は、6－4＝2枚です。全体の差は30枚です。人数は、30÷2＝15人です。
あまりと不足がある問題
あまりや不足がある問題では、「全体の差」を、あまりと不足から考えます。
例題3：持っているお金で、1個120円のりんごを何個か買うと200円あまります。同じ個数の1個150円のなしを買うと、40円たりません。買う個数と、持っているお金を求めましょう。
2つの代金の差は、あまった200円とたりない40円を合わせた、200＋40＝240円です。1個あたりの差は、150－120＝30円です。個数は、240÷30＝8個です。持っているお金は、120×8＋200＝1160円です。
確かめると、150×8＝1200円で、1160円では40円たりないので、合っています。
「あまる」と「たりない」のときは、全体の差は「あまり＋不足」です。
過不足算とのちがい
例題3のように、あまりと不足が出てくる問題は、過不足算ともよばれます。考え方は同じで、どちらも「全体の差÷1つあたりの差」で個数を求めます。くわしくは過不足算の解き方も参考にしてください。
全体の差の求め方は、次のように整理できます。
| 2つの結果 | 全体の差 |
|---|---|
| あまりとあまり | 大きいあまり－小さいあまり |
| 不足と不足 | 大きい不足－小さい不足 |
| あまりと不足 | あまり＋不足 |
| ちょうどとあまり（不足） | あまり（不足）の数そのまま |
速さと時間の問題
差集め算は、速さの問題でも使えます。
例題4：家から学校まで、分速60mで歩くと始業時刻に2分おくれ、分速80mで歩くと始業時刻の4分前に着きます。家を出てから始業時刻までは何分ありますか。また、家から学校までは何mですか。
家を出てから始業時刻までの時間を□分とします。□分の間に、分速60mでは、学校までより60×2＝120mたりない道のりしか進めません。分速80mでは、学校までより80×4＝320m多く進めます。
2つの道のりの差は、120＋320＝440mです。1分あたりの差は、80－60＝20mです。□は、440÷20＝22分です。
道のりは、60×（22＋2）＝1440mです。確かめると、分速80mでは1440÷80＝18分で、22分より4分早く着くので、合っています。
速さの問題は「同じ時間だけ進んだら、道のりにどれだけ差が出るか」を考えると、差集め算になります。
差集め算の解き方の手順
- 2つの場合を比べて、「1つあたりの差」を求める
- あまり・不足などから、「全体の差」を求める
- 全体の差÷1つあたりの差で、個数（人数・時間）を求める
- 求めた個数を使って、ほかの量を求め、確かめ算をする
よくあるまちがいと対策
- あまりと不足の問題で、全体の差を引き算で求める：「あまりと不足」は足し算
- 1つあたりの差を、2つの値段の合計にしてしまう：差は引き算
- 速さの問題で、時間の差と道のりの差を混ぜる：「同じ時間で進む道のりの差」にそろえる
- 個数を求めたあと、確かめをしない：問題の条件に当てはめて確かめる
家庭での教え方のコツ
おはじきで「差」を集める
1個あたりの差を1個のおはじきとして、人数分並べてみましょう。おはじきが集まって全体の差になることが、目で見て分かります。
買い物の場面で考える
「1個100円のアイスを120円のアイスに変えたら、5個で何円多くなる？」のように、身近な買い物で差集め算を考えてみてください。逆に、「全体で100円多くなったら何個？」と聞くと、差集め算の問題になります。
図や表をかく習慣をつける
2つの場合を、上下2段の図や表に並べてかくと、何と何の差なのかがはっきりします。式だけで解こうとせずに、図をかく習慣をつけましょう。
差集め算のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに特殊算の1つとして学ぶことが多い単元です。かけ算・わり算の文章題ができれば取り組めます。
つるかめ算とのちがいは何ですか？
つるかめ算は、2種類のものが「まざっている」ときに、それぞれの個数を求める問題です。差集め算は、同じ個数で「2つの場合を比べる」問題です。つるかめ算とあわせて、ちがいを確認しておきましょう。
苦手な場合はどうすればいいですか？
まずは例題1や例題2のような、あまりや不足のない問題から始めましょう。慣れてきたら、あまりと不足がある問題、速さの問題へと進みます。
練習問題にチャレンジ
問題1：1本90円のペンを買う予定でしたが、1本120円のペンを同じ本数買ったので、代金が240円多くなりました。何本買いましたか。
問題2：1人3個ずつ配る予定のあめを、1人5個ずつ配ることにしたので、必要なあめが24個ふえました。何人に配りますか。
問題3：1個100円のものを何個か買うと100円あまり、同じ個数の1個130円のものを買うと50円たりません。持っているお金は何円ですか。
問題4：分速50mで歩くと始業時刻に3分おくれ、分速70mで歩くと5分前に着きます。家から学校までは何mですか。
答え
問題1：240÷（120－90）＝8本です。
問題2：24÷（5－3）＝12人です。
問題3：個数は（100＋50）÷（130－100）＝5個で、持っているお金は100×5＋100＝600円です。
問題4：始業時刻までの時間は（50×3＋70×5）÷（70－50）＝25分で、道のりは50×（25＋3）＝1400mです。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：差集め算は「小さな差が集まって大きな差」
差集め算は、1つあたりの差が個数の分だけ集まって全体の差になる、という考え方で解きます。全体の差は、あまりと不足なら足し算、同じ側なら引き算です。速さの問題でも、同じ時間に進む道のりの差を考えれば、同じ方法で解けます。
関連する単元は、過不足算、つるかめ算、速さの基本で解説しています。算数全体の立て直しは中学受験の算数が苦手な原因と立て直し方も参考にしてください。
