「ダイヤグラムを見ても、どこから読めばいいか分からない」「2回目に出会うのはいつか、という問題で手が止まる」
ダイヤグラムは、中学受験の算数の速さの単元で、とてもよく出題されるグラフです。横の軸に時間、たての軸に道のりをとり、人や乗り物の動きを線で表します。旅人算の問題をグラフで表したもの、と考えると分かりやすくなります。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、ダイヤグラムの読み方の基本、出会いと追いつきの問題、往復の問題を整理し、家での教え方をまとめました。
ダイヤグラムの読み方
ダイヤグラムは、次のように読みます。
- 横の軸：出発してからの時間
- たての軸：出発地点からの道のり（きょり）
- 線のかたむき：速さ。かたむきが急なほど速い
- 水平な線：止まっている（時間がたっても、場所が変わらない）
- 右下がりの線：出発地点にもどる向きに進んでいる
かたむきが急なほど速い。水平な線は止まっている。この2つがダイヤグラムを読む基本です。
線の上の1点を読むと、「出発して○分後に、○mの地点にいる」ことが分かります。速さは、「進んだ道のり÷かかった時間」で、グラフから読み取れます。
2人が出会う問題
例題1：P地点とQ地点は1500mはなれています。AさんはP地点から分速60mで、BさんはQ地点から分速90mで、同時に向かい合って出発しました。2人が出会うのは、出発してから何分後で、P地点から何mのところですか。
2人の間のきょりは、1分間に60＋90＝150mずつちぢまります。1500÷150＝10分後に出会います。Aさんは10分で60×10＝600m進むので、P地点から600mのところです。
ダイヤグラムでは、2本の線が交わる点が、出会う時刻と場所を表しています。
2本の線が交わる点＝出会う（追いつく）時刻と場所です。
追いつく問題
例題2：弟は家を分速50mで出発しました。その6分後に、兄が自転車で分速200mで同じ道を追いかけました。兄が弟に追いつくのは、兄が出発してから何分後で、家から何mのところですか。
兄が出発するとき、弟は50×6＝300m先にいます。2人の間のきょりは、1分間に200－50＝150mずつちぢまるので、300÷150＝2分後に追いつきます。兄は2分で200×2＝400m進むので、家から400mのところです。
ダイヤグラムでは、弟の線は原点から出発し、兄の線は横の軸の6分のところから出発します。兄の線のほうがかたむきが急なので、やがて弟の線に追いついて交わります。
グラフから速さを読み取る
例題3：ある人のダイヤグラムで、出発してから10分後に800mの地点にいて、その後5分間は水平な線になり、そのあと再び進んでいました。最初の10分間の速さと、水平な線の意味を答えましょう。
最初の10分間の速さは、800÷10＝分速80mです。水平な線の5分間は、800mの地点で止まって休んでいたことを表しています。
往復して2回目に出会う問題
例題4：P地点とQ地点は1500mはなれています。AさんはP地点から分速60mで、BさんはQ地点から分速90mで同時に出発し、それぞれ反対側の地点に着いたらすぐに折り返します。2人が2回目に出会うのは、出発してから何分後ですか。
ダイヤグラムをかくと分かるように、1回目に出会うまでに2人が進んだ道のりの合計は1500m（PQ間の1つ分）です。2回目に出会うまでには、2人とも反対側まで行って折り返しているので、2人が進んだ道のりの合計は、PQ間の3つ分の1500×3＝4500mになります。
2人は1分間に合わせて150m進むので、4500÷150＝30分後です。
確かめると、Aさんは30分で1800m進み、Qで折り返して300mもどった地点（P地点から1200m）にいます。Bさんは30分で2700m進み、Pで折り返して1200m進んだ地点にいて、同じ場所です。
向かい合って往復するとき、2回目に出会うまでに2人が進む道のりの合計は「PQ間の3倍」です。
ダイヤグラムのかき方のコツ
- 横の軸に時間、たての軸に道のりをとり、目もりを書く
- 出発の時刻と地点に点を打つ
- 速さから、決まった時間後の位置に点を打ち、直線で結ぶ
- 折り返しや休けいの時刻を書き入れる
時間の目もりをきりのよい数にすると、交わる点が読み取りやすくなります。
よくあるまちがいと対策
- かたむきがゆるやかな線を、速いと読む：かたむきが急なほど速い
- 水平な線を「速さがとても速い」と読む：水平な線は止まっている
- 追いつく問題で、2人の速さを足す：追いつきは「速さの差」、出会いは「速さの和」
- 2回目の出会いで、道のりの合計を2倍にする：向かい合って往復するときは3倍
家庭での教え方のコツ
散歩の記録をグラフにする
親子で散歩するときに、何分後にどこにいたかを記録し、ダイヤグラムにかいてみましょう。信号で止まったところが水平な線になるなど、グラフの意味が実感できます。
旅人算と行き来する
文章題を解いたら、ダイヤグラムにかいて確かめる。ダイヤグラムを見たら、文章題に直してみる。この行き来を練習すると、両方に強くなります。
方眼紙を使う
ダイヤグラムは、方眼紙を使うと正確にかけます。目もりを正しくとる練習も、グラフの読み取りにつながります。
ダイヤグラムのよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、5〜6年生ごろに、速さと旅人算を学んだあとで取り組むことが多い単元です。
旅人算とどうつながりますか？
ダイヤグラムは、旅人算の状況をグラフに表したものです。出会いは「速さの和」、追いつきは「速さの差」という旅人算の考え方を、旅人算の解き方で確認しておきましょう。
比を使って解く問題もありますか？
はい、上位校では、ダイヤグラムの中にできる相似な三角形を使って、比で解く問題も出ます。相似の考え方とあわせて学ぶと、解ける問題が増えます。
練習問題にチャレンジ
問題1：2400mはなれた2地点から、Aさんは分速70m、Bさんは分速80mで同時に向かい合って出発しました。2人が出会うのは何分後ですか。
問題2：Aさんが分速60mで出発した4分後に、Bさんが同じ地点から分速100mで追いかけました。BさんがAさんに追いつくのは、Bさんが出発してから何分後ですか。
問題3：ダイヤグラムで、出発してから15分後に1200mの地点にいました。この間の速さは分速何mですか。
問題4：1200mはなれたP地点とQ地点から、分速50mと分速70mの2人が同時に向かい合って出発し、反対側の地点に着いたらすぐに折り返します。2回目に出会うのは何分後ですか。
答え
問題1：2400÷（70＋80）＝16分後です。
問題2：Aさんは240m先にいます。240÷（100－60）＝6分後です。
問題3：1200÷15＝分速80mです。
問題4：1200×3÷（50＋70）＝30分後です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：ダイヤグラムは「かたむき」と「交わる点」を読む
ダイヤグラムは、横の軸が時間、たての軸が道のりのグラフです。かたむきが速さ、水平な線は止まっていること、2本の線が交わる点は出会う（追いつく）時刻と場所を表します。旅人算の考え方とセットで練習しましょう。
