「紙を折った図になると、どの角とどの角が同じなのか分からない」「紙テープを折る問題で、いつも角度がずれてしまう」
図形の折り返しは、中学受験の算数で、角度や長さを求める問題としてよく出る単元です。折り返した部分は、折り目をはさんで元の部分とぴったり重なるので、重なる角や辺の長さは等しくなります。この1つのことを使いこなせば、多くの問題が解けます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、図形の折り返しの考え方と、よく出る問題の解き方をまとめました。
折り返しの基本
紙を折ると、折り目を対称の軸として、元の部分と折り返した部分が線対称になります。
- 重なる角の大きさは等しい
- 重なる辺の長さは等しい
- 折り目は、重なる2点を結ぶ線を垂直に2等分する
折り返しの問題は「折る前と折った後で、同じ角・同じ辺」に印をつけることから始めます。
問題の図に、同じ大きさの角には同じ印（●や○）、同じ長さの辺には同じ印をつけましょう。これだけで、求めたい角への道すじが見えてきます。
長方形を対角線で折る
例題1：長方形ABCDを、対角線BDで折り返し、頂点Cが移った点をEとします。角DBCが28度のとき、角ABEは何度ですか。
折り返したので、角DBEは角DBCと同じ28度です。長方形の角Bは90度なので、角ABE＝90－28－28＝34度です。
長方形の角は90度。折り返して重なった角を2つ分ひきます。
紙テープを折る
紙テープの上の辺と下の辺は平行です。紙テープを折る問題では、「折り返しで等しい角」と「平行線の錯角」の2つを使います。
例題2：紙テープを折ったところ、折り目とテープの辺がつくる角が70度になりました。折り返した部分のテープの辺と、元のテープの辺がつくる角は何度ですか。
折り目の両側には、折り返しで同じ70度の角が2つできます。一直線の角は180度なので、残りの角は180－70－70＝40度です。
紙テープの問題は「180－（折り目の角）×2」の形になることが多い。ただし、図でどの角かを必ず確かめます。
重なった部分は二等辺三角形
紙テープを折ると、重なった部分に三角形ができます。この三角形は二等辺三角形になります。
- 折り返しで、折り目の両側の角が等しい
- 平行線の錯角で、折り目とテープの辺がつくる角も等しい
- そのため、三角形の2つの角が等しくなり、二等辺三角形になる
例題3：例題2の紙テープで、重なった部分にできる三角形の3つの角を求めましょう。
折り目に接する2つの角は、どちらも70度です。残りの角は180－70－70＝40度です。70度・70度・40度の二等辺三角形になります。
正方形の角を折る
例題4：正方形ABCDの頂点Aを、正方形の中心に重なるように折りました。折り目は、もとの正方形の辺とどのような角をつくりますか。
頂点Aと中心を結ぶ線は、対角線の一部です。折り目はこの線に垂直です。対角線は辺と45度の角をつくるので、折り目と辺がつくる角は90－45＝45度です。折り目は、辺と45度の角をつくります。
長さを求める問題
折り返した辺の長さは、元の辺の長さと等しくなります。
例題5：長方形ABCD（ABは6cm、ADは10cm）を、頂点Dが辺BC上にくるように、頂点Aを通る線で折りました。Dが移った点をEとすると、AEは何cmですか。
AEは、折る前のADと重なっていた辺なので、AD＝10cmと同じです。AEは10cmです。
長さを求める問題でも、「どの辺と重なっていたか」を考えます。
正三角形を折る問題
例題6：正三角形ABCの頂点Aを、辺BC上の点Dに重なるように折りました。折り目と辺AB、ACが交わる点をE、Fとします。角BDEが40度のとき、角CDFは何度ですか。
折り返したので、角EDFは元の角A（正三角形の角）と同じ60度です。点Dは辺BC上にあるので、角BDE・角EDF・角CDFの合計は180度です。角CDF＝180－40－60＝80度です。
頂点を折った問題では「元の頂点の角が、移った先でもそのまま残る」ことを使います。
折り返しの問題で使う角のきまり
折り返しの問題では、次のきまりを組み合わせて使います。
- 三角形の3つの角の和は180度、四角形の4つの角の和は360度
- 一直線の角は180度、1回転の角は360度
- 正三角形の1つの角は60度、正方形・長方形の1つの角は90度
- 平行線の錯角・同位角は等しい
折り返しで等しい角を見つけたら、このどれかと組み合わせると答えにたどり着けます。
よくあるまちがいと対策
- 重なる角をまちがえる：折る前の図と折った後の図で、同じ部分に印をつける
- 一直線の180度を使い忘れる：折り目のまわりの角を合計する
- 紙テープの平行線を見落とす：上と下の辺が平行であることを図に書きこむ
- 図をそのまま信じて分度器のように読む：図は正確とは限らないので、計算で求める
家庭での教え方のコツ
本当に紙を折ってみる
長方形の紙や紙テープを実際に折って、重なる角を指でなぞってみましょう。どの角とどの角が同じなのかが、手で確かめられます。
印をつける練習
問題の図を写して、同じ角に●、同じ辺に－の印をつける練習だけをしてみてください。印がつけられれば、答えまではあと少しです。
分度器で確かめる
答えが出たら、紙を折って分度器で測ってみると、計算が正しいことが実感できます。
図形の折り返しのよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、角度の学習の応用として、5年生ごろに学ぶことが多い単元です。
線対称とどうつながりますか？
折り返しは、折り目を軸にした線対称です。線対称と点対称で、対称な図形の性質を確認しておきましょう。
角度の基本も必要ですか？
はい、三角形の内角の和、平行線の錯角や同位角など、角度の基本を使いこなせることが前提です。
練習問題にチャレンジ
問題1：長方形ABCDを対角線BDで折り返し、Cが移った点をEとします。角DBCが30度のとき、角ABEは何度ですか。
問題2：紙テープを折ったところ、折り目とテープの辺がつくる角が55度になりました。折り返した部分の辺と元の辺がつくる角は何度ですか。
問題3：問題2で、重なった部分にできる三角形の、いちばん小さい角は何度ですか。
問題4：正方形の紙を対角線で折ると、どんな形になりますか。
答え
問題1：90－30－30＝30度です。
問題2：180－55－55＝70度です。
問題3：三角形の角は55度・55度・70度なので、いちばん小さい角は55度です。
問題4：直角二等辺三角形です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：折り返しは「重なるものは同じ」
図形の折り返しの問題は、折り目を軸にした線対称で、重なる角と辺が等しいことを使います。同じ角や辺に印をつけ、一直線の180度、長方形の90度、平行線の錯角と組み合わせて求めましょう。紙テープの重なった部分は二等辺三角形になることも、覚えておくと役立ちます。
