「角度の問題で、どこから手をつければいいか分からない」「補助線を引く問題になると、まったく解けない」
角度は、中学受験の算数の図形分野で、もっとも基本となる単元です。入試では、角度を求める問題が、大問の小問としてよく出題されます。使う性質は多くありませんが、それを図の中で見つけられるかどうかが勝負です。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、角度の問題で使う基本の性質、三角形・多角形・平行線の角の求め方と、家での教え方をまとめました。
まず覚えたい角度の基本
角度の問題は、次の性質を組み合わせて解きます。
- 一直線の角は180°
- 1周の角は360°
- 向かい合った角（対頂角）は等しい
- 三角形の3つの角の和は180°
- 四角形の4つの角の和は360°
角度の問題は「180°と360°」が出発点。どこに一直線や三角形があるかを探します。
三角形の角
内角の和と外角
三角形の3つの角（内角）の和は180°です。また、1つの辺をのばしてできる角（外角）は、となりにない2つの内角の和に等しくなります。
例題1：三角形の2つの角が50°と60°のとき、残りの角と、その角のとなりの外角は何度ですか。
残りの角は、180－（50＋60）＝70°です。外角は、180－70＝110°です。
外角の性質を使うと、50＋60＝110°と、1回の計算で求められます。
三角形の外角＝となりにない2つの内角の和。入試で特によく使う性質です。
二等辺三角形と正三角形
- 二等辺三角形：2つの辺の長さが等しく、2つの角（底角）も等しい
- 正三角形：3つの辺の長さが等しく、3つの角はどれも60°
例題2：二等辺三角形の頂角（等しい2辺にはさまれた角）が40°のとき、底角は何度ですか。
底角2つの和は、180－40＝140°です。底角は等しいので、140÷2＝70°です。
円の中心と円周上の点を結んだ線（半径）は長さが等しいので、円の中にできる三角形は、二等辺三角形になることがよくあります。図に円があったら、半径を探してみましょう。
多角形の角
内角の和
多角形の内角の和は、1つの頂点から対角線を引いて、三角形に分けて考えます。
- 四角形：三角形2つで360°
- 五角形：三角形3つで540°
- 六角形：三角形4つで720°
□角形の内角の和＝180×（□－2）
正多角形の1つの角
正多角形は、すべての角の大きさが等しいので、内角の和を角の数でわります。
例題3：正六角形の1つの角は何度ですか。
内角の和は180×（6－2）＝720°です。720÷6＝120°です。
外角の和
どんな多角形でも、外角の和は360°です。正六角形なら、1つの外角は360÷6＝60°、内角は180－60＝120°と、外角から求めることもできます。
平行線と角
2本の平行な直線に、1本の直線が交わるとき、次の角が等しくなります。
- 同位角：同じ位置にある角
- 錯角：Z字（またはN字）の形にある角
例題4：2本の平行な直線に1本の直線が交わっていて、一方の交わりでできる角の1つが65°です。もう一方の交わりで、この角と錯角の関係にある角は何度ですか。
平行線の錯角は等しいので、65°です。
平行線の問題では、Z字の形を探すのがコツです。見つからないときは、角の頂点を通って、平行線と平行な補助線を引くと、Z字が2つでき、角を2つに分けて求められます。
入試レベル：星形と円の中の角
例題5：星形（五角形の対角線をすべて結んでできる形）の、5つの先端の角の和は何度ですか。
星形の先端の角の和は、どんな形の星形でも180°になります。
星形の中の1つの三角形に注目すると、その三角形の2つの角は、それぞれ別の小さな三角形の外角になっています。外角＝となりにない2つの内角の和、という性質を使うと、5つの先端の角がすべて1つの三角形の中に集まり、その和が180°になることが分かります。
例題6：円の中心をO、円周上の2点をA、Bとします。角AOBが100°のとき、角OABは何度ですか。
OAとOBはどちらも円の半径なので、長さが等しく、三角形OABは二等辺三角形です。底角の2つの和は180－100＝80°なので、角OABは80÷2＝40°です。
円が出てくる角度の問題では、「半径は等しい→二等辺三角形」をいつも思い出しましょう。
よくあるまちがいと対策
- 三角形の外角を、180°からひいて求めようとして時間がかかる：外角の性質を使う
- 多角形の内角の和で、□角形の□をそのまま使う：三角形に分けると（□－2）個になることを確かめる
- 二等辺三角形の、どの角が等しいのかを取りちがえる：等しい辺にしるしをつけ、その向かいの角が等しいと確かめる
- 平行線の錯角を見落とす：平行線に矢印のしるしをつけ、Z字を探す
家庭での教え方のコツ
紙を切って確かめる
紙で三角形を作り、3つの角を切り取って並べると、ぴったり一直線（180°）になります。自分の手で確かめると、三角形の内角の和が180°になることが、ずっと記憶に残ります。
分かった角を図に書きこむ
角度の問題では、求めた角をどんどん図に書きこんでいくのが大切です。分かった角が増えると、次に使える三角形や一直線が見えてきます。問題用紙の図が小さいときは、大きくかき写しましょう。
分度器で確かめる
答えが出たら、図を正確にかいて、分度器ではかってみるのもおすすめです。答えが大きくずれていれば、どこかで性質の使い方をまちがえています。
角度のよくある質問
角度は何年生で学びますか？
小学校の算数では、4年生で角の大きさ、5年生で三角形・多角形の角の和を学びます。中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに学び、6年生で補助線を使う応用問題に取り組みます。
補助線はどうやって引けばいいですか？
よく使う補助線は、「平行線を引く」「三角形を作るように結ぶ」「円の中心と結ぶ（半径を作る）」の3つです。まずは、基本の性質がすぐに使えるようになってから、補助線の問題に進みましょう。
時計の針の角度も角度の単元ですか？
時計の針の角度は、時計算という別の単元で学ぶことが多いですが、「1周360°」「一直線180°」という角度の基本を使います。角度の基本を確実にしておくと、時計算もスムーズに理解できます。
角度の家での進め方
- 一直線180°、1周360°、対頂角
- 三角形の内角の和と外角（例題1）
- 二等辺三角形・正三角形（例題2）
- 多角形の内角の和と正多角形（例題3）
- 平行線の同位角・錯角（例題4）
練習問題にチャレンジ
問題1：正八角形の1つの角は何度ですか。
問題2：三角形の2つの角が48°と75°のとき、残りの角は何度ですか。
問題3：三角形の1つの外角が130°で、それととなりにない内角の1つが70°のとき、もう1つのとなりにない内角は何度ですか。
答え
問題1：内角の和は180×（8－2）＝1080°なので、1080÷8＝135°です。
問題2：180－（48＋75）＝57°です。
問題3：外角は、となりにない2つの内角の和なので、130－70＝60°です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：角度は「180°・360°」と「書きこみ」で解く
角度の問題は、一直線180°、1周360°、三角形の内角の和180°と外角の性質、多角形の内角の和、平行線の同位角・錯角を組み合わせて解きます。分かった角を図にどんどん書きこみ、使える三角形や平行線を見つけることが大切です。
時計の針の角度は時計算の長針と短針の角度の解き方、図形の面積は面積の公式と求め方の工夫で解説しています。家庭学習の教材選びは塾無しで目指す中学受験のおすすめ参考書ランキングも参考にしてください。
