「鉄橋の問題で、列車の長さをたすのを忘れてしまう」「すれ違いと追いこしで、速さをたすのかひくのか分からなくなる」
通過算は、列車が電柱や鉄橋、トンネルを通りすぎるときの時間や長さを求める問題です。速さの単元の応用で、中学受験の算数ではよく出題されます。旅人算と似ていますが、「列車に長さがある」という点が大きなちがいで、ここでつまずく子がとても多い単元です。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、通過算の考え方を「先頭（または最後尾）の1点に注目する」というコツから整理し、基本の問題、すれ違い・追いこし、逆算、家での教え方をまとめました。
通過算のコツは「1点に注目する」
列車には長さがあるので、「列車がどれだけ進んだか」を考えるとき、列車全体を見ると混乱します。そこで、列車の先頭など1つの点に注目して、その点がどれだけ動いたかを考えます。
速さの基本の式は、通過算でもそのまま使えます。
- 道のり＝速さ×時間
- 時間＝道のり÷速さ
- 速さ＝道のり÷時間
通過算は「先頭がどれだけ進んだか」を図にかけば、速さの3つの式で解けます。
基本1：電柱（人）の前を通過する
例題1：長さ150mの列車が、秒速25mで走っています。電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。
列車の先頭が電柱の前に来てから、最後尾が電柱の前を通りすぎるまでに、先頭は「列車の長さ」の分だけ進みます。電柱には長さがないと考えるからです。
150÷25＝6秒です。
電柱や人の前を通過するとき、進むきょりは「列車の長さ」だけです。
基本2：鉄橋をわたる
例題2：長さ150mの列車が、秒速25mで、長さ350mの鉄橋をわたります。わたり始めてからわたり終わるまでに何秒かかりますか。
「わたり始め」は先頭が鉄橋に入ったとき、「わたり終わり」は最後尾が鉄橋を出たときです。図のように、その間に先頭が進んだきょりは、鉄橋の長さ＋列車の長さです。
（350＋150）÷25＝500÷25＝20秒です。
ここで列車の長さをたし忘れて「350÷25＝14秒」と答えてしまうのが、もっとも多いまちがいです。必ず図をかいて、先頭の位置に印をつけて確かめましょう。
基本3：トンネルに完全にかくれている
例題3：長さ150mの列車が、秒速25mで、長さ500mのトンネルを通ります。列車が完全にトンネルの中にかくれている時間は何秒ですか。
「完全にかくれている」のは、最後尾がトンネルに入ってから、先頭がトンネルを出るまでです。その間に先頭が進むきょりは、トンネルの長さ－列車の長さです。
（500－150）÷25＝350÷25＝14秒です。
鉄橋やトンネルの問題は、「入り始め・入り終わり・出始め・出終わり」のどこからどこまでかを、問題文から正しく読み取ることが大切です。
| 聞かれていること | 先頭が進むきょり |
|---|---|
| 電柱・人の前を通過 | 列車の長さ |
| 鉄橋・トンネルを通過（入り始めから出終わり） | 鉄橋（トンネル）の長さ＋列車の長さ |
| トンネルに完全にかくれている | トンネルの長さ－列車の長さ |
この表も、覚えるより図で確かめられるようにしておきましょう。
逆算：列車の速さと長さを求める
例題4：ある列車が、電柱の前を8秒で通過し、長さ300mの鉄橋を20秒でわたりました。この列車の速さと長さを求めましょう。
2つの場面を並べて比べます。
- 電柱：列車の長さを進むのに8秒
- 鉄橋：鉄橋300m＋列車の長さを進むのに20秒
ちがいは鉄橋の300mだけで、時間の差は20－8＝12秒です。つまり、300mを12秒で進むので、速さは300÷12＝秒速25mです。
列車の長さは、25×8＝200mです。
確かめると、（300＋200）÷25＝20秒で、問題と合います。2つの場面の「差」に注目する考え方は、つるかめ算や和差算と同じです。
すれ違いと追いこし
2つの列車が出てくる問題は、旅人算の考え方を使います。
すれ違い（向かい合って進む）
例題5：長さ200m、秒速20mの列車Aと、長さ160m、秒速25mの列車Bが、向かい合って走っています。出会ってからはなれるまでに何秒かかりますか。
先頭どうしが出会ってから、最後尾どうしがはなれるまでに、2つの列車は合わせて「2つの列車の長さの和」だけ進みます。向かい合って進むので、1秒間に近づく（はなれる）きょりは、速さの和です。
（200＋160）÷（20＋25）＝360÷45＝8秒です。
追いこし（同じ向きに進む）
例題6：例題5の列車Aが列車Bに後ろから追いつかれ、追いこされます。Bの先頭がAの最後尾に追いついてから、Bの最後尾がAの先頭をはなれるまでに何秒かかりますか。
追いこしでも、進むきょりの差は「2つの列車の長さの和」です。同じ向きに進むので、1秒間に近づくきょりは、速さの差です。
（200＋160）÷（25－20）＝360÷5＝72秒です。
すれ違いは「長さの和÷速さの和」、追いこしは「長さの和÷速さの差」です。
単位のそろえ方に注意
通過算では、列車の速さが「時速○km」、長さが「m」、時間が「秒」で出てくることがよくあります。計算の前に、単位をそろえましょう。
時速72kmは、1時間（3600秒）に72000m進む速さなので、72000÷3600＝秒速20mです。
時速を秒速に直すには、「×1000÷3600」をします。時速36kmなら秒速10m、時速54kmなら秒速15mのように、よく出る速さは覚えておくと計算が速くなります。
家庭での教え方のコツ
消しゴムや紙で列車を動かす
机の上に、鉄橋に見立てた定規と、列車に見立てた消しゴムを置き、実際に動かしてみてください。消しゴムの先頭にペンで印をつけて、「わたり始め」から「わたり終わり」まで動かすと、先頭が「鉄橋＋列車の長さ」だけ動いたことが目で分かります。
図は2つかく
通過算の図は、「はじめの場面」と「終わりの場面」の2つを、上下に並べてかくのがコツです。先頭の位置に印をつけ、その間のきょりに線を引けば、式がそのまま見えてきます。
旅人算を先に確認する
すれ違いや追いこしは、旅人算の「出会い」と「追いつき」の考え方そのものです。通過算でつまずいたら、いったん旅人算にもどると理解しやすくなります。
通過算は何年生で？家での進め方
通過算は、中学受験向けの教材では5年生ごろ、速さの単元のあとに学ぶことが多い単元です。速さの3つの式と、旅人算が身についていることが前提になります。
塾なしで進める場合は、次の順番がおすすめです。
- 電柱・人の前を通過する問題（例題1）
- 鉄橋・トンネルの問題（例題2・3）
- 2つの場面を比べる逆算（例題4）
- すれ違い・追いこし（例題5・6）
- 時速と秒速の単位変換をふくむ問題
1日2〜3問、必ず図をかいてから式を立てる練習をしましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：長さ120m、秒速15mの列車が、長さ480mの鉄橋をわたり始めてからわたり終わるまでに何秒かかりますか。
問題2：長さ180mの列車が時速54kmで走っています。電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。
問題3：長さ180m、秒速18mの列車と、長さ150m、秒速15mの列車がすれ違います。出会ってからはなれるまでに何秒かかりますか。
答え
問題1：（480＋120）÷15＝600÷15＝40秒です。
問題2：時速54kmは秒速15mです。180÷15＝12秒です。
問題3：（180＋150）÷（18＋15）＝330÷33＝10秒です。
通過算のよくある質問
通過算と旅人算は、何がちがうのですか？
旅人算では、人や車を「点」として考えます。通過算では、列車に長さがあるので、列車を「点」ではなく「線」として考えなければなりません。ただし、先頭など1つの点に注目すれば、その点の動きは旅人算と同じです。通過算は「列車の長さの分だけ、進むきょりが変わる旅人算」と考えると理解しやすくなります。
鉄橋の問題で、列車の長さをたすのを忘れないコツはありますか？
問題を読んだら、「わたり始め」と「わたり終わり」の2つの場面を上下に並べて図にかき、列車の先頭に印をつける習慣をつけてください。印から印までの長さを見れば、鉄橋の長さだけでなく、列車の長さの分も進んでいることが自然に分かります。最初のうちは、式を書く前に必ず図をかく、というルールにしておくのがおすすめです。
通過算は入試でどのように出題されますか？
基本の鉄橋・トンネルの問題のほか、例題4のように2つの場面を比べて列車の速さと長さを求める問題、すれ違いと追いこしを組み合わせた問題などがよく見られます。速さの単位が時速と秒速でまざっていることも多いので、単位をそろえる練習も一緒にしておくと安心です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
中級の問題と「要点まとめ」がついたセット（10単元・A4で62ページ）は、noteで販売しています。この単元は「算数・特殊算パック①」に入っています。
まとめ：通過算は「先頭の動き」を図にかく
通過算は、列車の先頭など1点に注目して、その点がどれだけ進んだかを図で確かめれば、速さの基本の式で解けます。鉄橋は「鉄橋＋列車」、トンネルに完全にかくれるのは「トンネル－列車」、すれ違いは速さの和、追いこしは速さの差。図をかく習慣が、いちばんのミス対策です。
速さの基本となる旅人算は出会い・追いつきの解き方と図のかき方、川の流れが出てくる問題は流水算の解き方で解説しています。動画で学びたいときは塾無し中学受験の無料YouTubeチャンネルおすすめランキングも参考にしてください。
