「水そうのグラフの問題で、グラフの折れ曲がりが何を表しているのか分からない」「おもりを入れると水面が上がる問題で、どう式を立てればいいか分からない」
水そうとグラフの問題は、中学受験の算数で、体積と速さの考え方を組み合わせた応用問題として、よく出題されます。グラフを読み取る力も必要になるので、苦手意識を持つ子が多い単元です。
でも、使う考え方は「体積＝底面積×高さ」ただ1つです。この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、水そうの問題の基本、段差のある水そうのグラフ、グラフからの逆算、おもりを入れる問題と、家での教え方をまとめました。
基本：水の深さが増える速さ
水そうに一定の割合で水を入れるとき、「1分間に入れる水の量（体積）」を「底面積」でわると、「1分間に水の深さが何cm増えるか」が分かります。
1分間に増える深さ＝1分間に入れる水の量÷底面積
例題1：底面がたて30cm、横40cmの直方体の水そうに、毎分2.4Lの割合で水を入れます。深さ50cmまで水を入れるのに何分かかりますか。
- 底面積：30×40＝1200cm²
- 毎分2.4L＝毎分2400cm³
- 1分間に増える深さ：2400÷1200＝2cm
- 深さ50cmまで：50÷2＝25分
水そうの問題は「1分間に増える深さ＝1分間の水の量÷底面積」が基本です。
単位を「cm³」と「L」でそろえるのを忘れないようにしましょう。1L＝1000cm³です。
段差のある水そうとグラフ
例題2：図のように、下の段（底面積1200cm²、高さ20cm）と、上の段（底面積2000cm²、高さ30cm）からなる水そうに、毎分2000cm³の割合で水を入れます。水を入れ始めてからの時間と水の深さの関係をグラフに表しましょう。
- 下の段：1200×20＝24000cm³。24000÷2000＝12分で、深さ20cmになる
- 上の段：2000×30＝60000cm³。60000÷2000＝30分で、さらに30cm深くなる
- 合計：12＋30＝42分で、深さ50cmになる
グラフは、0分から12分まで急に上がり、12分から42分まではゆるやかに上がります。
グラフの折れ曲がりは「水そうの形（底面積）が変わったところ」。せまいと急、広いとゆるやかになります。
同じ量の水を入れても、底面積がせまいほど、深さは速く増えます。グラフのかたむきが急なところは底面積がせまく、ゆるやかなところは底面積が広い、と読み取れます。
グラフから底面積を求める（逆算）
例題3：ある水そうに、毎分1500cm³の割合で水を入れたところ、10分間で水の深さが15cm増えました。この水そうの底面積は何cm²ですか。
10分間に入れた水は、1500×10＝15000cm³です。これで深さが15cm増えたので、底面積は15000÷15＝1000cm²です。
グラフの問題では、「何分間で、何cm増えたか」をグラフから読み取り、入れた水の量と組み合わせて、底面積を逆算する問題がよく出ます。
おもりを入れる問題
例題4：底面積600cm²の水そうに、深さ10cmまで水が入っています。そこに、底面積100cm²、高さ20cmの四角柱のおもりを、底につくようにまっすぐ立てました。水の深さは何cmになりますか。
水の量は変わらず、600×10＝6000cm³です。おもりを入れると、水が入る部分の底面積は、600－100＝500cm²になります。
水の深さは、6000÷500＝12cmです。おもりの高さ（20cm）より低いので、おもりは水から出ています。
もし計算した深さがおもりの高さより高くなったら、おもりは全部水にしずんでいます。その場合は、「水の体積＋おもりの体積」を、水そうの底面積でわって深さを求めます。
おもりを入れる問題は「水の体積は変わらない」。水が入れる底面積が、おもりの分だけせまくなります。
応用：水を入れながら排水する問題
例題5：底面積1000cm²の水そうに、深さ30cmまで水が入っています。給水管から毎分3000cm³の割合で水を入れながら、同時に排水管から毎分5000cm³の割合で水を出します。水そうが空になるのは何分後ですか。
1分間に実際に減る水の量は、5000－3000＝2000cm³です。1分間に減る深さは、2000÷1000＝2cmです。
深さ30cmがなくなるのは、30÷2＝15分後です。
給水と排水が同時に行われるときは、「1分間に実際に増える（減る）量」を先に出してから考えます。グラフでは、水の深さが右下がりの直線になります。給水だけ、排水だけ、両方、と途中で条件が変わる問題では、グラフのかたむきが変わるところで条件が変わったと読み取りましょう。
よくあるまちがいと対策
- Lとcm³をそろえずに計算する：1L＝1000cm³に直してから計算する
- グラフの折れ曲がりの意味が分からない：「形が変わったところ」と考え、水そうの図に線を引く
- おもりを入れたあとも、もとの底面積でわってしまう：水が入る部分の底面積を考える
- おもりが水から出ているか、しずんでいるかを確かめない：計算した深さとおもりの高さを比べる
家庭での教え方のコツ
実際に水を入れてみる
透明なコップや容器に、計量カップで同じ量ずつ水を入れて、水面の高さを定規ではかってみましょう。細いコップと太いコップで、同じ量の水を入れても高さがちがうことが、目で確かめられます。
水そうの図に色をぬる
段差のある水そうの問題では、水そうの図を下から順に、時間ごとに色分けしてぬってみてください。どの部分に何分かかるかが目で分かり、グラフとの対応がつかみやすくなります。
グラフと図を行き来する
グラフの各区間が、水そうのどの部分に対応しているかを、指でさしながら説明させましょう。グラフと図を行き来する練習が、読み取りの力をつけます。
水そうとグラフのよくある質問
水そうの問題は何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、5〜6年生ごろ、体積と比例・グラフを学んだあとに取り組むことが多い単元です。
排水しながら水を入れる問題はどう解きますか？
入れる量から出る量をひいた「1分間に実際に増える量」を考えます。これは、仕事算の給水・排水の問題と同じ考え方です。
水そうをかたむける問題も出ますか？
難関校では、水そうをかたむけたときの水の形を考える問題も出ます。まずは、この記事の基本を確実にしてから、応用問題に進みましょう。
水そうとグラフの家での進め方
- 1分間に増える深さの求め方（例題1）
- 段差のある水そうとグラフ（例題2）
- グラフから底面積を求める（例題3）
- おもりを入れる問題（例題4）
練習問題にチャレンジ
問題1：底面積800cm²の水そうに、毎分2Lの割合で水を入れます。1分間に深さは何cm増えますか。また、深さ30cmまで入れるのに何分かかりますか。
問題2：ある水そうに、毎分1200cm³の割合で水を入れたところ、5分間で深さが4cm増えました。底面積は何cm²ですか。
問題3：底面積500cm²の水そうに、深さ8cmまで水が入っています。底面積100cm²、高さ15cmの四角柱を底につくようにまっすぐ立てると、水の深さは何cmになりますか。
答え
問題1：毎分2000cm³なので、2000÷800＝2.5cm増えます。30÷2.5＝12分です。
問題2：5分間で6000cm³入れて4cm増えたので、6000÷4＝1500cm²です。
問題3：水は500×8＝4000cm³です。水が入る底面積は400cm²なので、4000÷400＝10cmです（四角柱の高さ15cmより低いので、四角柱は水から出ています）。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：水そうは「体積＝底面積×高さ」で解く
水そうの問題は、「1分間に増える深さ＝水の量÷底面積」が基本です。グラフの折れ曲がりは水そうの形が変わったところ、おもりを入れる問題は水の体積が変わらないことに注目しましょう。
体積の基本は立体の体積と容積・単位の直し方、給水・排水の考え方は仕事算の解き方で解説しています。算数のつまずき全体については中学受験の算数についていけない原因と立て直し方も参考にしてください。
