「魔方陣の問題を、当てずっぽうに数を入れて解いている」「真ん中が5になる理由を説明できない」
魔方陣は、正方形のマスに数を入れて、たて・横・ななめのどの列の和も等しくなるようにしたものです。中学受験の算数では、空いたマスに数を入れる問題や、1列の和を求める問題として出題されます。当てずっぽうではなく、計算で決まるポイントを知っておくと、すばやく確実に解けます。
この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、魔方陣の決まりと、問題の解き方をまとめました。
魔方陣とは
1から9までの数を1つずつ使った3×3の魔方陣の例です。
| 左 | 真ん中 | 右 | |
|---|---|---|---|
| 上の段 | 2 | 7 | 6 |
| 中の段 | 9 | 5 | 1 |
| 下の段 | 4 | 3 | 8 |
たて3列、横3列、ななめ2列の、合わせて8つの列の和が、どれも15になっています。
3×3の魔方陣（1〜9）は、どの列の和も15。真ん中は必ず5です。
1列の和の求め方
1から9までの和は、1＋2＋…＋9＝45です。横の3列を合わせると、すべてのマスの和になるので、1列の和は45÷3＝15です。
例題1：2から10までの数を1つずつ使って3×3の魔方陣を作ると、1列の和はいくつになりますか。
2から10までの和は、（2＋10）×9÷2＝54です。横3列で54なので、1列の和は54÷3＝18です。
使う数が等間隔に並んでいれば、1列の和は「使う数の真ん中の数×3」としても求められます。2から10なら、真ん中の数は6なので、6×3＝18です。
1列の和＝使う数の合計÷列の数（3×3なら3）。
真ん中の数の求め方
真ん中のマスを通る列は、たて1列・横1列・ななめ2列の4つです。この4つの列の和を合わせると、15×4＝60です。
この60には、真ん中以外のマスが1回ずつ、真ん中のマスが4回ふくまれています。すべてのマスの和は45なので、60－45＝15が、真ん中の数の3回分にあたります。真ん中の数は15÷3＝5です。
例題2：2から10までの数で作る3×3の魔方陣の、真ん中の数はいくつですか。
1列の和は18なので、4つの列で18×4＝72です。すべての和54をひくと、72－54＝18が真ん中の3回分なので、真ん中は18÷3＝6です。
3×3の魔方陣の真ん中の数＝1列の和÷3。使う数のちょうど真ん中の数になります。
真ん中をはさんで向かい合う数
真ん中を通る列は、和が15で真ん中が5なので、真ん中をはさんで向かい合う2つの数の和は15－5＝10です。
- 2と8、4と6、7と3、9と1の組が、それぞれ向かい合う
すみと辺に入る数
1から9の魔方陣では、4つのすみに偶数（2・4・6・8）、4つの辺の真ん中に奇数（1・3・7・9）が入ります。
もし1がすみにあると、1をふくむ3つの列（たて・横・ななめ）で、残り2つの数の和がどれも14になる必要があります。9以下の数で和が14になる組は（5，9）（6，8）の2組しかないので、3つの列をつくれません。そのため、1はすみには入りません。
空いたマスのうめ方
例題3：1から9の数を使った3×3の魔方陣で、上の段の左が4、右が8です。上の段の真ん中と、下の段の左に入る数を答えましょう。
真ん中は5です。上の段の和は15なので、上の段の真ん中は15－4－8＝3です。下の段の左は、上の段の右（8）と真ん中をはさんで向かい合うので、10－8＝2です。
このように、真ん中→1列の和→向かい合う数、の順に使うと、空いたマスが決まっていきます。
4×4の魔方陣
1から16までの数を使った4×4の魔方陣では、すべての数の和は1＋2＋…＋16＝136です。横4列で136なので、1列の和は136÷4＝34です。
4×4の魔方陣には、3×3のような「真ん中のマス」はありませんが、1列の和を最初に求める考え方は同じです。4×4の魔方陣の中には、4つのすみの数の和や、真ん中の4マスの和も34になるものがあります。
3×3の魔方陣を作る手順
1から9の魔方陣は、次の順に数を入れると、迷わずに作れます。
- 真ん中に5を入れる
- すみの1か所に偶数（例えば2）を入れ、真ん中をはさんだ反対のすみに10－2＝8を入れる
- 残りのすみに、もう1組の偶数（4と6）を、同じように向かい合わせに入れる
- 1列の和が15になるように、辺の真ん中のマスに奇数を入れる
例題4：上の手順で、左上に2、右上に6を入れました。上の段の真ん中に入る数はいくつですか。
上の段の和は15なので、15－2－6＝7です。
すみの数の置き方を変えると、ちがう形の魔方陣ができます。1から9の3×3の魔方陣は、回したり裏返したりして同じになるものをまとめると、1種類しかありません。
よくあるまちがいと対策
- 数を当てずっぽうに入れる：1列の和と真ん中の数を、先に計算で決める
- 1列の和を、使う数の合計÷マスの数にする：合計÷列の数（3×3なら3）
- 向かい合う数の関係を使わない：真ん中をはさむ2つの数の和は一定
- 使う数が1〜9でないときも15にする：使う数の合計から求め直す
家庭での教え方のコツ
カードで並べてみる
1から9の数字カードを作り、実際にマスに並べて魔方陣を作ってみましょう。真ん中に5を置くと作りやすいことに、自分で気づけると記憶に残ります。
「なぜ5？」を説明させる
真ん中が5になる理由を、子どもに説明してもらいましょう。説明できれば、使う数が変わった問題にも対応できます。
パズルとして楽しむ
魔方陣は昔から親しまれてきた数のパズルです。数の合計を考える練習にもなるので、遊び感覚で取り組んでみてください。
魔方陣のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに、数の性質やパズルの問題として出てくることが多い単元です。
等差数列の和は必要ですか？
はい、使う数の合計を求めるときに、「（最初の数＋最後の数）×個数÷2」をよく使います。規則性の問題で確認しておきましょう。
ほかのパズル的な問題もありますか？
虫食い算や覆面算も、条件から数を決めていく問題です。虫食い算と覆面算もあわせて練習しましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：1から9の数を使った3×3の魔方陣で、1列の和はいくつですか。
問題2：3から11までの数を1つずつ使った3×3の魔方陣で、1列の和はいくつですか。
問題3：問題2の魔方陣で、真ん中の数はいくつですか。
問題4：1から9の魔方陣で、真ん中をはさんで7と向かい合う数はいくつですか。
答え
問題1：45÷3＝15です。
問題2：3から11までの和は（3＋11）×9÷2＝63なので、63÷3＝21です。
問題3：21÷3＝7です。
問題4：10－7＝3です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：魔方陣は「1列の和」と「真ん中」から
魔方陣は、まず使う数の合計を列の数でわって1列の和を求め、3×3なら真ん中の数を「1列の和÷3」で決めます。真ん中をはさんで向かい合う数の和が一定であることを使えば、空いたマスも順に決まります。当てずっぽうではなく、計算で決めることが大切です。
