「1辺6個の正方形のまわりの数を、6×4＝24と答えてしまう」「中空方陣の個数の求め方が、何通りもあって混乱する」
方陣算は、中学受験の算数の文章題で、碁石やおはじきを正方形に並べたときの個数を考える単元です。まわりの個数、全体の個数、中がからっぽの「中空方陣」、並べかえたときにあまりや不足が出る問題などが出題されます。
方陣算は、図をかいて「かどを2回数えない」ことに気をつければ、確実に得点できる単元です。この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、方陣算の基本と、よく出るパターンの解き方をまとめました。
方陣算の基本
碁石などを、たてと横に同じ数ずつ並べて正方形の形にしたものを「方陣」といいます。
- 中実方陣：中までびっしりつまった方陣。全体の個数は「1辺×1辺」
- 中空方陣：中がからっぽの方陣
中実方陣の全体の個数は「1辺の個数×1辺の個数」です。
まわりの個数
1辺に6個並んだ正方形のまわりの個数を、6×4＝24個とするのは、まちがいです。4つのかどの碁石を、2回ずつ数えてしまうからです。
まわりの碁石を、上の図のように「（1辺－1）個ずつ、4つのグループ」に分けると、かどを1回ずつ数えられます。
まわりの個数＝（1辺の個数－1）×4
1辺6個なら、（6－1）×4＝20個です。
まわりの個数は「（1辺－1）×4」。1辺×4から、かどの4個を引いても同じです。
例題1：碁石を1辺8個の正方形にすき間なく並べました。全体の個数と、いちばん外側の個数を求めましょう。
全体は8×8＝64個です。いちばん外側は、（8－1）×4＝28個です。
まわりの個数から1辺を求める
例題2：正方形に並べた碁石のいちばん外側の個数が36個でした。1辺に何個並んでいますか。
まわりの個数＝（1辺－1）×4 なので、1辺－1＝36÷4＝9です。1辺は9＋1＝10個です。
厚みのある中空方陣
中がからっぽで、まわりに何列かの厚みがある方陣の個数は、次のどちらかで求めます。
- 方法1：外側の正方形の個数から、中のからっぽの正方形の個数を引く
- 方法2：長方形4つに分けて求める（1つの長方形は、たてが厚み、横が「1辺－厚み」）
例題3：1辺10個で、厚みが2列の中空方陣をつくります。碁石は全部で何個必要ですか。
方法1：外側は10×10＝100個です。中のからっぽの正方形の1辺は、10－2×2＝6個なので、6×6＝36個です。100－36＝64個です。
方法2：長方形1つは、2×（10－2）＝16個です。4つで16×4＝64個です。
中空方陣は「外側の正方形－中の正方形」か「長方形4つ」。2つの方法で答えが合えば安心です。
中の正方形の1辺を求めるときは、両側から厚みの分を引くので「1辺－厚み×2」になる点に注意しましょう。
あまりと不足の問題
例題4：碁石を正方形に並べたところ、12個あまりました。そこで、たてと横を1列ずつ増やして正方形に並べようとしたところ、9個たりませんでした。碁石は全部で何個ありますか。
たてと横を1列ずつ増やすのに必要な碁石は、あまった12個と、たりない9個を合わせた21個です。
1辺がn個の正方形を、1辺n＋1個にするには、「n個の列を2つと、かどの1個」を足すので、2×n＋1個が必要です。2×n＋1＝21なので、n＝10です。
はじめの正方形は10×10＝100個で、12個あまったので、碁石は100＋12＝112個です。
確かめると、1辺11個の正方形には121個必要で、112個では9個たりず、合っています。
1列ずつ増やすのに必要な数は「はじめの1辺×2＋1」。あまりと不足を足した数と等しくなります。
2色で交互に並べる問題
方陣の外側から、白・黒の碁石を1周ずつ交互に並べる問題もよく出ます。
例題5：1辺7個の中実方陣を、いちばん外側を白、その内側を黒、さらにその内側を白…と、1周ずつ交互に並べます。白の碁石は何個ありますか。
1辺の個数は、外側から7個、5個、3個、1個（まん中の1個）と2個ずつ減ります。各周の個数は、（7－1）×4＝24個、（5－1）×4＝16個、（3－1）×4＝8個、まん中1個です。白は外から1周目と3周目なので、24＋8＝32個です。
確かめると、黒は16＋1＝17個で、32＋17＝49＝7×7となり、合っています。
内側の周は、1辺が2個ずつ減ります。まん中が1個になるか、4個になるかに注意します。
よくあるまちがいと対策
- まわりの個数を「1辺×4」にする：かどを2回数えている
- 中空方陣で、中の正方形の1辺を「1辺－厚み」にする：両側から引くので「1辺－厚み×2」
- 1列増やすのに必要な数を「1辺×2」にする：かどの1個を足し忘れている
- あまりと不足の問題で、ひき算をする：増やすのに必要な数は「あまり＋不足」
家庭での教え方のコツ
おはじきや碁石を並べる
実際に、おはじきや碁石を正方形に並べてみましょう。まわりを数えるとき、かどを2回数えてしまうことが、自分の手で確かめられます。
方眼紙に色をぬる
方眼紙に方陣をかき、まわりの4つのグループを色分けしてぬってみてください。（1辺－1）×4の意味が、目で見て分かります。
2つの方法で確かめる
中空方陣は、「外側－中」と「長方形4つ」の2つの方法で計算し、答えが同じになるかを確かめる習慣をつけましょう。
方陣算のよくある質問
何年生で学びますか？
中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに学ぶことが多い単元です。かけ算とわり算ができれば取り組めます。
植木算とどう関係しますか？
「かどを2回数えない」という考え方は、池のまわりに木を植える植木算と同じです。植木算もあわせて確認しましょう。
規則性の問題でも出ますか？
はい、碁石を正方形に並べていくとき「○番目の正方形には何個必要か」という形で、規則性の問題としても出ます。規則性の問題もあわせて練習しましょう。
方陣算の家での進め方
- 中実方陣の全体の個数
- まわりの個数（例題1）
- まわりの個数から1辺を求める（例題2）
- 厚みのある中空方陣（例題3）
- あまりと不足の問題（例題4）
練習問題にチャレンジ
問題1：碁石を1辺12個の正方形に並べたとき、いちばん外側の個数は何個ですか。
問題2：正方形に並べた碁石のいちばん外側の個数が48個でした。1辺に何個並んでいますか。
問題3：1辺9個で、厚みが3列の中空方陣をつくるには、碁石は何個必要ですか。
問題4：碁石を正方形に並べたところ、5個あまりました。たてと横を1列ずつ増やそうとしたところ、8個たりませんでした。碁石は全部で何個ありますか。
答え
問題1：（12－1）×4＝44個です。
問題2：48÷4＋1＝13個です。
問題3：外側は9×9＝81個、中の正方形の1辺は9－6＝3個で9個です。81－9＝72個です。
問題4：増やすのに必要なのは5＋8＝13個なので、はじめの1辺は（13－1）÷2＝6個です。6×6＋5＝41個です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：方陣算は「かどを2回数えない」
方陣算は、まわりの個数を「（1辺－1）×4」で求め、かどを2回数えないことが基本です。中空方陣は「外側－中」か「長方形4つ」で求め、1列増やすのに必要な数は「1辺×2＋1」です。図や碁石で確かめながら、式の意味を理解しましょう。
