「平均の問題になると、平均どうしをたしてわってしまう」「面積図で平均算を解く方法が、親もよく分からない」
平均算は、テストの平均点や、クラスの平均身長などを使って、合計や個数を求める問題です。平均は小学5年生の算数で学ぶ内容ですが、中学受験では「次のテストで何点とれば平均が上がるか」「これまで何回テストを受けたか」など、一歩進んだ問題が出題されます。
平均算のポイントは、「平均のまま考えず、合計にもどす」ことです。この記事では、塾なしで中学受験を目指すご家庭に向けて、平均算の基本、合計で考える方法、面積図での解き方と、家での教え方をまとめました。
平均算の基本：平均と合計の関係
平均は、いくつかの数を同じ大きさにならしたものです。次の3つの式で表せます。
- 平均＝合計÷個数
- 合計＝平均×個数
- 個数＝合計÷平均
たとえば、3回のテストが70点、80点、75点なら、合計は225点、平均は225÷3＝75点です。
平均算は「合計にもどす」。平均のままたしたりひいたりしないのが鉄則です。
基本1：平均を上げるには何点必要か
例題1：4回のテストの平均点が75点でした。5回目のテストで何点をとれば、5回の平均点が78点になりますか。
平均のまま考えず、合計にもどします。
- 4回の合計：75×4＝300点
- 5回で平均78点にするための合計：78×5＝390点
- 5回目に必要な点数：390－300＝90点
確かめると、（300＋90）÷5＝78点です。
基本2：2つのグループの平均
例題2：あるクラスの男子20人の算数のテストの平均点は62点、女子15人の平均点は69点でした。クラス全体の平均点は何点ですか。
ここで、「（62＋69）÷2＝65.5点」としてしまうのが、もっとも多いまちがいです。男子と女子で人数がちがうので、平均どうしをたして2でわることはできません。
合計にもどして計算します。
- 男子の合計：62×20＝1240点
- 女子の合計：69×15＝1035点
- 全体の合計：1240＋1035＝2275点
- 全体の平均：2275÷（20＋15）＝2275÷35＝65点
人数がちがうグループの平均は、平均どうしをたして2でわってはいけません。
応用：面積図で回数を求める
平均算では、面積図を使うと、すばやく解ける問題があります。
例題3：これまで何回かテストを受け、その平均点は72点でした。今回のテストで90点をとったので、平均点が75点に上がりました。今回のテストは何回目ですか。
面積図は、たてを点数、横を回数にして、長方形の面積で合計点を表す図です。
これまでの回数を横の長さ、平均72点をたての長さとする長方形と、今回の1回分、90点の長方形を並べます。新しい平均75点のところに横線を引くと、
- 今回の90点は、75点より15点多い（図の「い」）
- これまでの各回は、75点より3点少ない（図の「あ」）
平均75点にならすと、「い」の15点が、「あ」の部分にならされて埋まります。つまり、あ と い の面積は等しくなります。
「あ」は、たて3点、横がこれまでの回数の長方形なので、これまでの回数は15÷3＝5回です。今回は6回目です。
確かめると、72×5＋90＝450点、450÷6＝75点です。
合計で解く方法
面積図を使わなくても、合計で考えることもできます。これまでの回数を□回とすると、
- これまでの合計：72×□
- 今回までの合計：72×□＋90＝75×（□＋1）
ここから、90－75＝15点が、□回分の（75－72）＝3点ずつに分けられた、と考えれば、□＝15÷3＝5回です。面積図は、この考え方を図にしたものです。
入試レベル：加わった人や、2人ずつの平均
例題4：5人の平均身長は140cmでした。そこに1人が加わったので、6人の平均身長は141cmになりました。加わった人の身長は何cmですか。
合計にもどします。5人の合計は140×5＝700cm、6人の合計は141×6＝846cmです。加わった人の身長は、846－700＝146cmです。
例題5：AとBの点数の平均は70点、BとCの平均は75点、CとAの平均は80点です。A、B、Cの点数はそれぞれ何点ですか。
平均を合計にもどすと、A＋B＝140点、B＋C＝150点、C＋A＝160点です。3つをたすと、A、B、Cが2回ずつ出てくるので、A＋B＋C＝（140＋150＋160）÷2＝225点です。
- A＝225－150＝75点
- B＝225－160＝65点
- C＝225－140＝85点
このように、2人ずつの平均の問題も、合計にもどせば消去算と同じ考え方で解けます。
よくあるまちがいと対策
- 平均どうしをたして2でわる：人数（回数）がちがうときは、必ず合計にもどす
- 何回目かを聞かれているのに、これまでの回数を答える：問題文の「何回目」「これまで何回」に線を引く
- 面積図で、たてと横を取りちがえる：たて＝点数（平均）、横＝回数（人数）と書いておく
- 平均点が小数になる問題で計算ミスをする：合計を先に出してからわる
家庭での教え方のコツ
「ならす」をイメージさせる
平均は、高いところを低いところに分けて、平らにならしたものです。積み木やコップの水を使って、「高い山をくずして、低いところを埋める」と説明すると、面積図の考え方が理解しやすくなります。
身近な数字で練習する
子どものテストの点数、家族の身長、1週間の気温など、身近な数字で平均を出してみましょう。「次のテストで何点とれば、平均80点になる？」という問題は、子どもにとっても実感のある問題です。
つるかめ算と比べる
平均算の面積図は、つるかめ算の面積図と同じ考え方です。つるかめ算を学んだ子には、「面積図で、はみ出た部分と足りない部分が同じになる」という共通点を伝えると、理解が深まります。
平均算のよくある質問
面積図を使わない方法でも大丈夫ですか？
大丈夫です。平均算は、合計にもどして考えれば、面積図を使わなくても解けます。ただ、例題3のように「これまでの回数」が分からない問題では、面積図を使うと考え方が目で見えて、すばやく解けます。最初は合計で解く方法を身につけ、慣れてきたら面積図も使えるようにするのがおすすめです。
てんびん図で解く方法もあると聞きました
はい、平均算は、食塩水の問題と同じように、てんびん図でも解けます。2つのグループの平均と全体の平均の差が、人数の比の逆比になる、という考え方です。例題2なら、男子62点と全体65点の差は3点、女子69点と全体の差は4点で、3：4の逆比が人数の比20：15＝4：3になっています。
平均算は何年生で学びますか？
平均そのものは小学校5年生で学びます。中学受験向けの教材では、4〜5年生ごろに平均算を学ぶことが多く、面積図を使う問題は、つるかめ算のあとに練習することが多い単元です。
平均算の家での進め方
塾なしで進める場合は、次の順番がおすすめです。
- 平均＝合計÷個数の3つの式を確認する
- 平均を上げるのに必要な点数を求める（例題1）
- 2つのグループの平均（例題2）
- 面積図で回数を求める（例題3）
1日2〜3問、まず合計を出してから考える習慣をつけましょう。
練習問題にチャレンジ
問題1：国語・算数・社会の3教科の平均点は70点でした。理科が82点のとき、4教科の平均点は何点ですか。
問題2：男子18人の平均身長は150cm、女子12人の平均身長は145cmです。全体の平均身長は何cmですか。
問題3：これまで何回か受けたテストの平均点は80点でした。今回62点をとったので、平均点が77点に下がりました。今回のテストは何回目ですか。
答え
問題1：3教科の合計は70×3＝210点です。（210＋82）÷4＝292÷4＝73点です。
問題2：男子の合計は150×18＝2700cm、女子の合計は145×12＝1740cmです。（2700＋1740）÷30＝4440÷30＝148cmです。
問題3：今回の62点は、新しい平均77点より15点少なく、これまでの各回は77点より3点多いです。これまでの回数は15÷3＝5回なので、今回は6回目です。
練習プリント（無料）
この記事の内容をたしかめる「初級」の練習プリントです。問題1ページと、解答・要点まとめ1ページのA4のPDFです。印刷して使ってください。
まとめ：平均算は「合計」と「ならす」で考える
平均算は、平均のまま計算せず、合計にもどして考えるのが基本です。人数や回数がちがうグループの平均は、平均どうしをたして2でわってはいけません。これまでの回数が分からない問題は、面積図で「はみ出た部分と足りない部分が等しい」ことを使えば、すばやく解けます。
面積図の考え方はつるかめ算の面積図での解き方、てんびん図は食塩水の濃度とてんびん図で解説しています。家庭学習の教材選びは塾無しで目指す中学受験のおすすめ参考書ランキングも参考にしてください。
